复变函数积分例题 复变函数积分例题ppt

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留数公式:若z0是f(z)的m级极点 则Res[f(z),z0]=lim[z-->z0] 1/(m-1)! * [ (z-z0)^m*f(z) ]^(m-1) 注意:最后这个(m-1)是求m-1阶导数,然后求极限(如果函数连续,可直接代.

本题依然涉及到的是两个问题:.一是复变函数积分,往往转化为计算留数;.二是留数的计算,又会转化为求导计算;本题的奇点是二阶的,只需求导一次即可..楼主留意.

I=∫[I]x^2-iy^2dz z=(1+i)t 0 =∫[0,1] t^2(1-i)d(1+i)t =∫[0,1]2t^2 dt=(2/3)t^3 |[0,1]=(2/3) I=∫[0,1-i] ze^zdz z=(1-i)t 0 =∫[0,1](1-i)te^(1-i)t d(1-i)t =∫[0,1](1-i)t de^(1-i)t =(1-i)t*e^(1-i)t |[0,1] .

这个要用留数定理做,先求出奇点,然后判断奇点的阶,以第二题为例,Z=-1在环域z|=3内.Z=-1是他的一阶奇点,然后用留数定理求原式=-1-3/2x(-1)-3=0.8

用留数定理做.曲线C:(x-2)^2+y^2 = 4 以(2,0)为中心,半径为2的圆周 由柯西积分定理,如果在闭合的积分曲线内没有孤立极点,则积分值为零.下面就需要在C内寻找.

|z-1|=1的上半圆周方程为:(x-1)^2+y^2=1 y>0 为:x=1+cost,y=sint,t:0-->π ∫Rezdz=∫xd(x+iy)=∫xdx+i∫xdy 代入 为:∫xdx+i∫xdy=∫-sintcostdt+i∫(cost)^2dt =-1/2∫ sin2t dt+i/2∫(1+cos2t)dt =1/4cos2t+i/2*t+i/4*sin2t t:0-->π =πi/2不知道对不对

利用留数定理做,会很简单.留数定理是说如果f(z)在积分区域内存在z1~zn,n个孤立奇点,则∮Cf(z)dz=2πi∑Res(f(z),zi),其中Res(f(z),zi)为f(z)在zi处的洛朗级数中(z-zi)^-1的系数 1、f(z)=z/((4z-π)(sinz)^2),可知Res(f(z),0)=-1/π,Res(f(z),π/4)=π/8,所以第一题是(π^2-2)i 2、区域内的奇点有(1+√3)/2,(-1+√3)/2,计算得两处的留数为1/6,1/6,所以第二题为2πi/3 3、奇点为-π/4与0,留数为-1/4与1/π,结果是(4-π)i/2 4、等等给答案,这个我计算出了点问.

参数方程求解复变积分是求积分的最常用的方法,书上应该一开始讲的方法就是这个吧.在讲复变中曲线的概念时也肯定有. 所谓参数方程,就是形如 z = z(t) = x(t) + i y(t) (a <= t <= b)的形式,其中x(t)、y(t)分别是关于t的实函数.根据线积分定理可以推得上述积分公式.

①C内包含奇点z=3 利用柯西积分公式求积分值 ②C内包含奇点z=-1和z=3 利用柯西积分公式和高阶导数公式 计算积分值 过程如下:一道复变函数的积分题,如图.

解:设f(z)=(sinz)/[z(z-1)].当z=0、z=1时,z(z-1)=0,均位于丨z丨=2内.但由于sinz=∑[(-1)^n]z^(2n+1)/(2n+1)!,n=0,1,……,∞,∴z=0不是f(z)的极点. ∴在丨z丨=2内,仅有1个极点z1=1,根据留数定理, ∴原式=(2πi)Resf(z1)=(2πi)lim(z→z1)(z-z1)f(z)=(2πi)sin1. 供参考.

这篇文章到这里就已经结束了，希望对大家有所帮助。