y”_2y'+y=2xe^x+x通解?

y”_2y'+y=2xe^x+x通解?

y的二阶导-y的一阶导-y的²＝0的通解是什么

解：

令：G(x,y)=x²-xy+y²-1=0

根据隐函数定义：

对上式求关于x的偏导：

G'x=2x-y

对上式求关于y的偏导：

G'y=2y-x

∴

dy/dx

= - G'x/G'y

= (2x-y)/(x-2y)

对z=x²+y²求关于x的偏导

dz/dx

=2x+2y·(dy/dx)

=2x+2y·(2x-y)/(x-2y)

=(2x²-4xy+4xy-2y²)/(x-2y)

=2(x²-y²)/(x-2y)

d²z/dx²

={2[2x-2y·(dy/dx)]·(x-2y)-2(x²-y²)·[1-2(dy/dx)]}/(x-2y)²

={[4x(x-2y)-4y·2(x²-y²)]-2(x²-y²)·[1-2·2(x²-y²)/(x-2y)]}/(x-2y)²

={[4x(x-2y)²-4y·2(x²-y²)(x-2y)]-2(x²-y²)·[1-2·2(x²-y²)]}/(x-2y)³

=(4x³+16xy²-16xy-8yx³+16x²y²+8xy³+16y·y³-2x²-2y²+8x·x³+8yy³-16x²y²)/(x-2y)³

=(4x³+16xy²-16xy-8yx³+8xy³+24y^4-2x²-2y²+8x^4)/(x-2y)³

设特解为y*=(ax^2+bx)e^x

则y*'=(ax^2+bx)e^x+(2ax+b)e^x=(ax^2+(2a+b)x+b)e^x

y*''=(ax^2+(2a+b)x+b)e^x+(2ax+2a+b)e^x=(ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x

所以ax^2+(4a+b)x+2a+2b-ax^2-bx=2x

即4ax+2a+2b=2x

特征方程为a^2--2a+1=0，于是a=1，因此齐次方程的两个线性无关的解为

e^x，xe^x。再考虑特解。令特解e^x*f(x)，则(e^x*f(x))'=e^x*(f(x)+f'(x))，

【e^x*f(x)】‘’=e^x(f(x)+2f‘(x)+f''(x))，代入可得f''(x)=1/x，因此f(x)=xlnx--x。

于是同解为C1e^x+C2xe^x+xlnx--x。

y''+y=2xe^x (1)

注意它的特解为：y*=(x-1)e^x，应该是：a=1，b=-1 你是运算有误。

再加上 y''+y=0 (2) 的通解，

就是(1)的通解。齐次方程(2)的通解比较好求，略去不写了。