求函数微分的经典例题 大一微积分经典例题

y=(x^2+1)^(1/2),是复合函数求导.1).取对数,lny=ln(x^2+1)^(1/2)=(1/2)ln(x^2+1).2).求导,(lny)'y'=[(1/2)ln(x^2+1)]'•(x^2+1)'.(1/y)y'=(1/2)[1/(x^2+1)]•(2x)=(2x/2)/(x^2+1)=x/(x^2+1).3).同乘y,y'=xy/(x^2+1)=x[根号(x^2+1)]/(x^2+1).

就是 sinx^2对x^2的求导,如果你将x^2看成一个因子,就设x^2=t,那么就变成了sint对t的求导, 答案就是cost,也就是cosx^2.

特征方程:r²+4=0,解得r₁=2i,r₂=-2i对应的齐次微分方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x设微分方程的一个特解为y*=ax+b,代入微分方程,解得a=1,b=-2微分方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x+x-2

解:z(x,y)=√(x^2+y) 求偏导数得: fx(x,y)=x/√(x^2+y) fy(x,y)=1/[2√(x^2+y)] 故根据全微分的性质知: dz(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy=xdx/√(x^2+y)+dy/[2√(x^2+y)] =(2xdx+dy)/[2√(x^2+y)]

由积分,可知曲边梯形的面积y³=∫[0,x]ydx,这里y满足y(0)=0上式两边对x求导得3y²y'=y∴y(x)满足的微分方程是3y²y'-y=0,y(0)=0=>y(3yy'-1)=0,∴y=0或3yy'=1=>3ydy=dx=>∫3ydy=∫dx=>3y²/2=x+C,带入y(0)=0,得C=0∴y(x)的隐函数形式是3y²=2x,x≥0

有两种解法,一种:令x^2=u,则原式=dsinu/du=cosu=cos(x^2) 另一种,原式={d(sinx^2)/dx}/{d(x^2)/dx}={(cosx^2)*2x}/(2x)=cos(x^2)

未知函数以及未知函数的导数都是一次方的形式;所有的系数只和自变量有关系.这样的微分方程称为线性微分方程.比如二阶线性微分方程的标准形式:y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) “齐次”指的是线性微分方程中的那个f(x)=0,若f(x)≠0,称为非齐次线性微分方程

T'=k(T-20) dT/dt=k(T-20)(k为常数) dT/(T-20)=dt/k ln(T-20)=t/k+C T-20=e^(t/k+C) t=0,T=1000,C=ln980 T-20=980e^(t/k) T=50时30=980e^(t/k) t=kln3/98

解:属可分离变量型一阶微分方程.设y=ux,则y'=u+xu',代入原方程,经整理,有xu'=ulnu-u.∴du/[ulnu-u)=dx/x.两边积分,有ln丨lnu-1丨=ln丨x丨+lnc∴lnu-1=cx,∴u=e^(cx+1).∴原方程的通解y=xe^(cx+1),其中,c为常数.供参考.

等价于 y''/y'+2y'/y=0 等价于 (dln|y'|+2dln|y|)/dx=0 等价于 ln|y'y^2|=A 等价于 y'y^2=B 等价于 dy^3/dx=3B 积分得 y^3=3Bx+C 或者记为 y^3=C1x+C2