y=|1/x|函数图像绕y轴旋转后形成的空间在a到b区间的体积如何计算？

绕y轴和绕y=1，他们的旋转体体积，在积分中被积函数有什么区别吗？求解丫

既然绕y轴和y＝1旋转，就得将旋转体向y轴积分，并取y为积分变量。设旋转体在y轴上的投影区间为[c,d]。分两种情况：

1.被旋转的平面区域由曲线x＝φ(y)、y轴、直线y＝c、y＝d围成。

①绕y轴旋转

在y轴上纵坐标为y和y+dy的点处分别作垂直于y轴的平面，截旋转体得一厚度为dy的圆盘，其近似是一圆柱体，所以体积微元

dV＝旋转体被在纵坐标为y处所作垂直于y轴的平面截下的圆面积×圆盘厚度dy＝π[φ(y)]^2 dy.

于是，所求体积V＝∫(c,d)dV＝π∫(c,d)[φ(y)]^2 dy.

②绕直线y＝1旋转

此时如①一样截旋转体。此时因是绕y＝1旋转，旋转体被在纵坐标为y处所作垂直于y轴的平面截下的圆的半径是|φ(y)-1|，所以dV＝π[φ(y)-1]^2 dy.

于是V＝π∫(c,d)[φ(y)-1]^2 dy.

2.被旋转的平面区域由两条曲线x＝φ(y)、x＝ψ(y)及二直线y＝c、y＝d围成。

分三种情况：

A.曲线x＝ψ(y)始终位于x＝φ(y)的右侧

①绕y轴旋转

此时旋转体被在纵坐标为y处所作垂直于y轴的平面截下的是同心圆环，其面积＝π[ψ(y)]^2-π[φ(y)]^2＝π{[ψ(y)]^2-[φ(y)]^2}.所以dV＝π{[ψ(y)]^2-[φ(y)]^2}dy.于是

V＝π∫(c,d){[ψ(y)]^2-[φ(y)]^2}dy.

②绕直线y＝1旋转

分三种情况：

a.曲线x＝ψ(y)和x＝φ(y)都始终位于直线y＝1一侧

此时旋转体被在纵坐标为y处所作垂直于y轴的平面截下的是圆心在直线y＝1上的同心圆环，其面积是

π[ψ(y)-1]^2-π[φ(y)-1]^2＝π{[ψ(y)-1]^2-[φ(y)-1]^2}.于是

V＝π∫(c,d){[ψ(y)-1]^2-[φ(y)-1]^2}dy.

b.曲线x＝ψ(y)与x＝φ(y)始终位于直线y＝1的两侧

此时旋转体被位于纵坐标为y处且垂直于y轴的平面截下的是一个圆面，其半径＝max{φ(y),ψ(y)}。计算出该圆的面积后，乘以dy得体积微元。得到

V＝π∫(c,d) {max[φ(y),ψ(y)]}^2 dy.

c.两条曲线在区间[c,d]的某些部分上位于y＝1的同一侧，而在其他部分上位于y＝1的两侧

此时需按在同一侧、两侧将[c,d]分成部分区间分别按a、b所述方法进行计算。

B.x＝ψ(y)始终位于x＝φ(y)的左侧

这种情况与A类似，略。

C.二曲线相对位置并不始终一个在另一个左侧或右侧

这种情况类似于上面的c.略。

恩，把y=f（x）转化成x=f（y），求侧面积就是A=∫（a，b）πxdy，是f(x)旋转之后围成的面积。

求定积分∫πe^2xdx积分限是(0,1)体积为πe^2/2-π/2

当x=-1时y=-1，当x=1时y=1 显然y（1）>y（-1）。

（-∞，0)∪(0,+∞）代表一个范围内单调减而（-∞，0),(0,+∞）代表在这两个范围内分别单调减