拉格朗日定理例题 拉格朗日定理例题详解

设g(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b^2+a^2)}(x^2+a^2)g(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导.g(a)=g(b)=0g(x)在[a,b]上满足罗尔定理.g'(t)=f'(t){[f(b)-f(a)]/(b^2+a^2)}(t^2+a^2)2t=0其中t在(a,b)内.化简2t[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(t)

1)当x>0时,(x-ln(1+x))' = 1-1/(1+x) =x/(1+x) > 0,而且当x=0时,x-ln(1+x)=0, 所以由拉格朗日定理,x-ln(1+x)=0+η/(1+η)*x>0,其中η在0到x之间.所以ln(1+x)<x.同.

今年广东高考数学卷的命题者是去年秒杀52万江苏考生的人称'数学帝'葛军,鉴于本次高考理数葛军给出的解释——今年广东高考数学不太难,最后几题同学们可以尝试用拉格朗日中值定理解决,定积分只要求运用无穷限广义积分和狭积分,数列方面只要求熟练掌握级数收敛的一般求法加上泰勒公式其实很简单……”

(1)证明: e^x > ex (x>1) 证明:设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x -e=e^c(x -1) ,.

对于函数f(x)=e^x 在区间[0,x]上运用拉格朗日中值定理得: 存在一点x0,00, e^(x0)>=1 即:(e^x-1)/x >=1 所以 e^x>=1+x

设F(x)=f(x)--g(x),则在(a,b)内F(x)满足拉格朗日定理,且F'(X)=f'(x)--g'(x)==0,由拉格朗日定理在(a,b)内有 F(X1)--F(X2)==F'(X),其中X1、X2属于(a,b),X属于(X1,X2),而F'(X)==0,所以F(X1)==F(X2),说明 F(x)是一个常函数,所以原命题得证,f(x)和g(x)相差一个函数,并且是一个常函数! 实际上这个结论是拉格朗日定理的一个推论~

a吧,对ln(1+x^2)求导得2x/(1+x^2),ξ=0的时候就满足拉格朗日定理那个条件了. b是x^(4/5)吧?在x=0处不可导. c在x=0处不连续,于是不用算下去了

如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈(a,b),使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

只要验证在X=0处可导 X=0的左右导数都为0 所以在0处事可导的,切分段函数连续可倒,满足整个函数连续可导,符合拉格朗日中值定理的条件 f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a) a b 在-1 到1之间ξ 都可以 假设b=1 a=-1 代入得f'(ξ)=1 函数导数为1 2x=1 或-2X=1 ξ=1/2 或-1/2

先证 f(x)/x 在x>0时是减函数(方法先求导再拉格朗日把导函数中f(x)换掉)然后就好办了