微分方程(2x+y^2)dy=dx的通解？ 2y 2x 2y 9x 2求通解

微分方程(2x+y^2)dy=dx的通解？2y 2x 2y 9x 2求通解

(2x-y^2)y’=2y的通解

求微分方程(2x-y²)y'=2y的通解

解：由原式得：(2x-y²)dy=2ydx，即有2ydx+(y²-2x)dy=0............(1)

P=2y，Q=y²-2x；∂P/∂y=2；∂Q/∂x=-2；∂P/∂y≠∂Q/∂x，故不是全微分方程。

下面找一个积分因子μ(x，y)，使其变为全微分方程。

由于(1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2y)(2+2)=2/y是y的函数(不含x)，因此积分因子

μ=e^[∫(-2/y)dy]=e^(-2lny)=e^(lny⁻²)=y⁻²=1/y².

将(1)式两边同乘以1/y²得(2/y)dx+(1-2x/y²)dy=d[(2x+y²)/y]=0

积分之得通解为： (2x+y²)/y=C。

dy/dx=2x/y ，

分离变量，ydy=2xdx,

两边积分，1/2*y^2=x^2+C,

y^2=2x^2+C

你把右边拆出来，等式两边同除x∧2，把y/x=u，然后就可以算出来了，等下再发手写图

这是一阶线性微分方程，由通解公式：

x=e^(2y)(C-∫y^2e^(-2y)dy)

=e^(2y)(C+(1/2)∫y^2de^(-2y)

=e^(2y)(C+(1/2)(y^2e^(-2y)-∫ye^(-2y)dy)

=e^(2y)(C+(1/2)(y^2e^(-2y)-(1/2)∫yde^(-2y))

=e^(2y)(C+(1/2)(y^2e^(-2y)-(1/2)ye^(-2y)+(1/2)∫e^(-2y)dy)

=e^(2y)(C+(1/2)(y^2e^(-2y)-(1/2)ye^(-2y)-(1/4)e^(-2y))

=Ce^(2y)+(1/2)(y^2-y-2)