证明：在面积一定的所有矩形中，正方形的周长最短(高等数学做法)？初三数学矩形证明题

求证面积一定的所有矩形中，正方形的周长最短。

1。不等式方法

设矩形长A，宽B。 AB=S。

周长=2(A+B)>=2*2sqrt(S)

2。用导数方法求解。

设长A，则宽为S/A。

周长y=2(A+S/A）

y'=2-2S/A^2=0. 得到A=sqrt(S)时，y最小。

且ymin=2*2sqrt(S)

证明：设矩形面积为S,长为x，宽为S/x,周长为 L。则L=2x+2S/x L'=2-S/x^2=(x^2-S)/x^2=0, 推出：x^2=S ,x=√S .矩形宽=S/x=S/√S=√S 所以面积为一定的矩形中，正方形周长最短。

证明：设周长为定值a,矩形的长为x,则宽为a/2-x

所以面积s＝x（a/2-x）

＝－x^2+(a/2)x

＝－（x-a/4）^2+a^2/16

此为关于x的二次函数当x＝a/4时面积最大,最大面积为a^2/16

而x＝a/4时,长、宽相等,即矩形为正方形时面积最大.

或证明：设周长为定值a,矩形的长为x,则宽为y,

x+y=a/2

S=xy

≤[(x+y)/2]^2=a^2/16

当且仅当"x=y"取“=”，此时矩形为正方形。

很严格的证明一时也想不出，姑且这样证吧：

设四个边按顺时针分别是abcd

（1）在等周时面积最大的四边形应有以下性质：a=b,c=d

证：假定面积最大的四边形不满足此条件，即a≠b，c≠d。用一个对角线把这个四边形分成两个三角形，a，b和c，d各在一个三角形中。利用海伦公式和均值不等式很容易证明，如果令a'=b',c'=d',则新的四边形比原有的要大，与假设矛盾。这样就证明了（1）

（2）利用（1），容易证明面积最大的四边形应满足a=b=c=d，或者说这个四边形是一种菱形

证明法同1类似

（3）容易证明在满足（2）的菱形中，有一个角是直角时面积最大，因此这个菱形是正方形。

综上，周长相等的四边形中，正方形面积最大。