设向量a1,a2,a3满足k1a1+k2a2+k3a3=0，k1,k2,k3为常数，且k1*k3≠0，下面的选项哪个正确？

• 线性代数，设向量组a1 a2 a3线性无关， 且b=k1a1+k2a2+k3a3.证明若k1 不等
• 设相量a1 a2 a3都是非齐次线性方程AX=B的解,且数k1 k2 k3满足k1+k2+k3=1
• 向量组a1,a2,a3线性无关,β=k1a1+k2a2+k3a3,证明若k1不等于0,β,a2,a3也线性无关
• 设向量组a1a2a3线性相关,且其中任意两个线性无关,证明存在全不为零的常数k1k2k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0

线性代数，设向量组a1 a2 a3线性无关， 且b=k1a1+k2a2+k3a3.证明若k1 不等

你直接用反证法不就行了吗？假设zhidaob a2 a3线性相关，故∃不全为0的数b1,b2,b3∈F 使得回b1b+b2a2+b3a3=0

所以有b1(k1a1+k2a2+k3a3)+b2a2+b3a3=0

整理得b1k1a1+(b1k2+b2)a2+(b1k3+b3)a3=0

因为a1 a2 a3线性无关，所以b1k1=b1k2+b2=b1k3+b3=0

又因为b1 b2 b3不全为0,所以k1=0

若k1≠0,则假设不成立，故答向量组b a2 a3线性相关

设相量a1 a2 a3都是非齐次线性方程AX=B的解,且数k1 k2 k3满足k1+k2+k3=1

这样来想，

A*(k1a1+k2a2+k3a3)

=k1*Aa1+k2*Aa2+k3*Aa3

a1 a2 a3都是非齐次线性方程AX=B的解

所以

Aa1=Aa2=Aa3=B，

那么

A*(k1a1+k2a2+k3a3)

=k1*Aa1+k2*Aa2+k3*Aa3

=k1B+k2B+k3B

=(k1+k2+k3)B

而k1+k2+k3=1，

所以

A*(k1a1+k2a2+k3a3)=B，

即向量k1a1+k2a2+k3a3是就是方程组AX=B的解

向量组a1,a2,a3线性无关,β=k1a1+k2a2+k3a3,证明若k1不等于0,β,a2,a3也线性无关

(β,a2,a3) = (a1,a2,a3)K

K=

k1 0 0

k2 1 0

k3 0 1

因为 a1,a2,a3 线性无关

所以 r(β,a2,a3) = r(K)

所以 β,a2,a3 线性无关 <=> r(K)=3 <=> |K|≠0 <=> k1≠0.

设向量组a1a2a3线性相关,且其中任意两个线性无关,证明存在全不为零的常数k1k2k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0

因为 a1,a2,a3 线性相关

所以存在不全为0的数 k1,k2,k3, 使得 k1a1+k2a2+k3a3=0

事实上, k1,k2,k3 全不为0

如若k1=0, 则 k2a2+k3a3=0.

因为 a2,a3 线性无关, 所以有 k2=k3=0

这与 k1,k2,k3 不全为0矛盾

所以 k1,k2,k3 即为全不为0的常数, 使得 k1a1+k2a2+k3a3=0