一道不定积分的题：请问不定积分a^2-u^2/(u^2+a^2)^2 du等于什么？
∫2/(1-u^2+2u)du怎么做
1-u^2+2u＝2-(u-1)^2＝(√2)^2-(u-1)^2，du＝d(u-1)，所以
∫2/(1-u^2+2u)du＝∫2/[(√2)^2-(u-1)^2]d(u-1)，套用不定积分公式∫1/(a^2-x^2)dx＝1/(2a)×ln|(a+x)/(a-x)|＋C得
∫2/(1-u^2+2u)du＝1/√2×ln|(√2+u-1)/(√2-u+1)|＋C
请问，为何在求∫dx/√(x^2-a^2)的不定积分时，
1、 ∫dx/√(x^2-a^2)= -∫dx/√(u^2-a^2)，这儿你写错了应该是 ∫dx/√(x^2-a^2)= -∫du/√(u^2-a^2)，其实这题我觉得有更好的方式，令x=asecu,原式=∫dx/√(x^2-a^2)=∫asecu*tanudu/√(a^2secu^2-a^2)=∫secudu=∫1/cosudu=∫dsinu/(1-sinu^2)=1/2[∫(1/(1+sinu)+1/(1-sinu)dsinu]=1/2ln|(1+sinu)/(1-sinu)|+c，然后再利用x=asecu，还原回来，
2、反求-ln[u+√(u^2-a^2)]+C1的微分，直接对这式子求导，加上一个du，微分即-dx/√(u^2-a^2)
3、这种题型换元法是很好的解决方式，遇到了x^2+a^2，x^2-a^2这类型都用三角换元，前面的是令x=atanx，后面的是令x=asecu，积完分后，再还原回来
希望能帮助你
不定积分(x^2+a^2)^(-1/2)的具体推导过程 已知答案
设x=atant
∫1/√(x²+a²)dx
=∫1/[a√(tan²t+1)]d(atant)
=∫cost(1/cos²t)dt
=∫sectdt
=ln|sect+tant|+C1
=ln|x/a+√(x²+a²)/a|+C1
=ln|x+√(x²+a²)|-ln|a|+C1
=ln|x+√(x²+a²)|+C
1/(x^2+a^2)^2的不定积分
直接凑微分。
∫dx/（x²+a²）=1/a∫d（x/a）/（1+（x/a）²）=1/a×arctan（x/a）+c