求曲线积分 求曲线积分的方法
曲线积分，怎么求，求详解
可以直接将方程代入。
x^2 + y^2 + z^2 = 2z ==> x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1
∮L (x^2 + y^2 + z^2) ds
= ∮L 2z ds
= ∮L 2(1) ds
= 2∮L ds
= 2L
= 2 * 2 * π * 1
= 4π
计算曲线积分的过程
令x=cost， y=sint。 则ds=根号下{(dx)^2+(dy)^2}=dt。这时积分曲线是圆心在x轴上的点(1,0)、半径为1且与y轴相切（切点是原点）的圆周，参数t的变化范围是-pai/2到pai/2。 于是原积分=2cost在-pai/2到pai/2上的积分=4。
这是第一型曲线积分（即“对弧长的曲线积分”），计算方法是设法化作定积分。
由于积分曲线是圆周，故考虑用圆的参数方程（即取参数t为新的自变量）：
注：这里应特别注意：将第一型曲线积分化为定积分时，被积函数与积分曲线密切关联着，作了代换x=cost, y=sint后，从曲线L的方程看，这时x^2+y^2=2cost，代换后的积分的被积函数就是2cost（而不是1 ！）。可以简单的理解为：把曲线方程"代入"被积函数。
扩展资料：
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。
带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说）在推广之后都是以曲线积分的形式出现曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。
高数曲线积分如何计算的？
曲线积分一般分为两类，对弧长的曲线积分，就是形如∫L f(x,y)ds ,L为积分曲线。而另一类也是对坐标的曲线积分，形如∫L f(x,y)dx+g(x,y)dy, L为积分曲线。
1.对弧长的线积分计算常用的有以下两种计算方法：
平面上对坐标的线积分（第二类线积分）计算常用有以下四种方法：
（1）直接法
就是将积分曲线关系直接带入被积函数转化为单一变量积分！
（2）利用格林公式
应用格林公式一定要注意以下两点：
a.P(x,y),Q(x,y)在闭区间D上处处有连续一阶偏导数
b.积分曲线L为封闭曲线且取正向。
（3）补线后用格林公式
若要计算的线积分的积分曲线不封闭，但直接法计算不方便时，此时可补一条曲线，使原曲线变成封闭曲线。
这里给个提示：再没有使用格林公式之前，积分曲线的变量关系可以随便带入积分表达式，一旦使用了格林公式，现在就成了二重积分，就不再满足积分曲线的变量的等量关系了。
曲线曲面积分的计算
从概念上讲，第一类的，都是和方向无关的，对标量的积分。第二类的，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。具体地说：第一类曲线积分是对长度的积分，第二类曲线积分是对坐标的积分，讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分，是对面积的积分，第二类区面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。 从计算上讲，第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式，因此计算公式似乎复杂，但是记住公式之后，因为不用考虑方向，因此实际上简单。第二类的，不用考虑微元的表示式，直接就是对坐标积分，形式上简单，不过，在具体到某个线或者面的时候，要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段，在每个方向一致的小段上，还要考虑正负号，是否为零等等，实际上相对麻烦许多。 关于这两类积分（实际上是四类，不过我的称呼是分别针对面，线来说）实际上都有统一的公式。两类曲线积分可以通过方向余弦实现统一。两类区面积分可以通过切面的法向量方向余弦实现统一。 此处的学习重点除了上述内容之外，要特别注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。这些在某些专业中应用更广泛。