求dx分之dy=x分之ylny的可分离变量微分方程的通解变量可分离方程的通解

dy/dx = y/x 是可分离变量微分方程吗

变量分离适用于解可以将xy分别放置等号两边的方程.形如y'=f(x)g(y)的微分方程就是可分离变量的微分方程

这类方程可以用积分方法求解的

化简得 dy/g(y)=f(x)dx 再两端积分

设 G(y)F(x)分别是是1/g(y)， f(x)的原函数

所以 G(y)=F(x)+c就是通解

dy/dx = y/x 是可分离变量微分方程

dy/dx = y/x

得到dy/y = dx/x

但是很多齐次微分方程并不能将x,y分开写两边, 这时候就得考虑下面了. 而齐次微分方程是通过变量分离以及其他一些手段预先解出来的一个可以当作公式使用的便利形式.

|令y=xu

则y'=u+xu'，代入原方程得：

x(u+xu')=xulnu

u+xu'=ulnu

xdu/dx=u(lnu-1)

du/[u(lnu-1]=dx/x

d(lnu)/(lnu-1)=dx/x

积分得：ln|lnu-1|=ln|x|+c1

|lnu-1|=c|x|

|ln(y/x)-1|=c|x|

dy/(ylny)＝dx/x

∫dy/(ylny)＝∫dx/x

∫d(lny)/(lny)＝∫dx/x

lnlny＝lnx＋C0

lny＝C1x

y＝C(e^x)