闭区间内连续函数必有界 函数在闭区间连续的条件

f(x)在[a,b]连续,那根据介值定理,推出至少存在一个数c∈[a,b],使f(a)

在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定义应为函数设f(x)是区间E上的函数.若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数.其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界.

一定有界

函数在一个闭区间内连续是有界的充分非必要条件.闭区间内连续必有界,有界不一定要求闭区间内连续.反例很多,比如一个函数在0点取1,其余地方取0,在闭区间[-1,.

闭区间上的连续函数一定有界.

连续函数不一定有界 如:y=x连续函数但无界 y=1/x在(0,1]上连续但是无界 一般是连续函数在闭区间上必有界

在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.详见高数同济六版课本上册P71.

闭区间套定理:设闭区间{[an,bn]}满足:[an,bn]?[an+1,bn+1](n∈N+),lim n→∞ (bn?an)=0,则存在唯一的ξ,使ξ∈[an,bn](n∈N+)且 lim n→∞ an= lim n→∞ bn=ξ. 设f是[a,b]上.

根据连续函数的性质,闭区间上的连续函数必存在最大值M和最小值n,我们取这两者绝对值较大者为K,显然k是这函数的一个界.即闭区间内连续必有界.但是,开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值,因而存在函数极限趋于无穷大的情况.比如,y=1/x在(0,+∞)上无最大值和最小值,且x→0+,y→+∞.y=1/x在(0,+∞)上无界.

定义 应为函数设f(x)是区间E上的函数.若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数.其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界.