三重积分什么条件可以用球坐标法？ 三重积分的柱坐标

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## 球坐标系积分

三重积分的计算主要有四种方法,投影法(先1后2),截面法(先2后1),柱坐标、球坐标,本题需要用球坐标来做. ∫∫∫(Ω)√(X^2+Y^2+Z^2)dV =∫∫∫(Ω)r*r²sinφ drdφ.

2+y^2+z^2时 ,用球面坐标系; 如果积分区域是圆柱、圆柱的一部分或被积函数中含有x^2+y^2或y^2+z^2或z^2+x^2时 ,用柱面坐标系;如果积分区域是正方体、长方体或他们的一部分时 .

(r²) dr 三个积分可以各积各的,为了书写方便,我这里分开来写,你做题时可一起做 ∫[0→π/2] cosθ dθ =sinθ |[0→π/2] =1 ∫[0→π/2] sin²φ dφ 可以用降.

2+y^2围成,可用柱面坐标系,但如果被积函数f(x,y,z)=z,那么选择先xy后z的直角坐标的积分次序会让解题过程简单.

基本上都是用直角坐标,偶尔用极坐标,用极坐标是为了方便分析.

解:∵方程组x²+y²+z²=R²与x²+y²+z²=2Rz的解是x²+y²=(√3R/2)² ∴两球体公共部分在xoy平面上的投影是S:x²+y²=(√3R/2)² 故 原式=∫∫<S>dxdy∫<R-√(R²-x²-y²),√(R²-x²-y²)>z²dz =(1/3)∫∫<S>{[√(R²-x²-y²)]³-[R-√(R²-x²-y²)]³}dxdy =(1/3)∫<0,2π>dθ∫<0,√3R/2>{[√(R²-r²)]³-[R-√(R²-r²)]³}rdr (做极坐标变换) =(2π/3)∫<0,√3R/2>{2[√(R²-r²)]³-3R[√(R²-r²)]²+3R²[√(R²-r²)]-R.

体积公式 =∫∫∫_V dV 此处是球体,那么利用球坐标 =∫<0,2π>∫<0,π>∫<0,r> ρ^2 sin φ dρdφdθ =∫<0,2π>dθ ∫<0,π>sin φdφ ∫<0,r> ρ^2dρ =2π*[-cosφ |<0,π>]*[ρ^3/3 |<0,r>] =2π*2*r^3/3 =4πr^3/3

球面坐标系法适用于被积区域Ω包含球的一部分. 区域条件:积分区域为球形或球形的一部分,锥面也可以; 函数条件:f(x,y,z)含有与x2+y2+z2相关的项. 如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域,则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和. 扩展资料: 三重积分就是立体的抄质量.当积分函数为1时,就是其密度分布均匀且为1,质量就等于其体积值.当积分函数不为1时,说明密度分布不均匀. 如果Ω关于xOy(或xOz或yOz.

先作出积分区域,再根据球面坐标计算三重积分的形式确定相关元素的积分上下限,接下来,按部就班的计算就好

这篇文章到这里就已经结束了，希望对兄弟们有所帮助。