证明q是最小的数域 有理数是最小数域证明

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q[i]是由形如a+bi的数组成,其中a,b是有理数.设p是任意包含q和i的域,则任意a,b∈q,则bi∈p,a+bi∈p,∴q[i]是p的子域,即q [i ]是包含q 和i 的最小的域.

首先数域里,必须有一非0元素s 由对减法和除法封,得到x-x=0 与 x/x=1在数域里. 这样0,1必须在数域里. 由于数域对加法封闭, 所以1+1=2 1+2=3 . 所有的正整数都在.

定义:设K是复数集的一个子集,如果K满足:(1)0,1属于K;(2)对于任意的a,b属于. 有a/b属于K(即K对于加、减、乘、除四种运算封闭),那么称K是一个数域.

i是虚单位吧.i的平方等于-1,设(a+bi)/(c+di)=e+fi,然后就有ec-df=a,ed+cf=b,可以把ef解出来,属于Q,所以封闭

【1】数0是数域P的元素.设a是数域P的元素,a-a=0.【2】数1是数域P的元素.设b≠0是数域P的元素,b÷b=1.【3】正整数是数域P的元素.负整数是数域P的元素..

数域 定义设F是一个数环,如果 (1) 对任意的a∈F且a≠0; (2) 若a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F; 则称F是一个数域.例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域. 著名的域还有:Klein四元域. 数域性质 任何数域都包含有理数域Q. 即Q是最小的数域. 证明:F必有一个非零元素a. 由于F为数环,所以0 = a - a属于F 1 = a/a 属于F 0和1都属于F 那么2 = 1+1 3 = 2+1...自然数N都属于F -n = 0 - n 也属于F 故正整数集合Z都属于F 那么a/b 也属于F.

1.是错的,因为设x1,x2是整数,属于整数集,但x1/x2不一定属于整数集,所以整数集不是数域. 2.是错误的,因为有理数Q是数域,只能保证M中Q有部分是数域,但M中除去Q的部分不确定,而数域必须保证任意性,即所有性,所以M不一定是数域,假设M为Q与根号2组成的集合,与Q有关的部分符合数域的性质,但是与根号2有关的就不符合,例1+根号2就不在集合内. 3.正确的,反证法,若某数域有限,即有n个元素,数域的性质是指,这n个数.

因为i是Q上不可约多项式f(x)=x^2+1=0的根,所以[Q(i):Q]=deg(f(x))=2,2是素数,所以Q和Q[i]没有中间域

是. 设A是可数数集, Bi是用A中元素做i次运算生成的集合,则Bi是可数集. 令B为所有Bi之并, 则B为所求,且可数.

证明对四则运算封闭即可

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