定积分几何意义 定积分几何意义说明

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若f(x)≥0,x∈[a,b],∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积;若f(x)≤0,x∈[a,b],∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形.

定积分的几何意义:函数图象与被积分变量轴所围成的面积; 变限积分的几何意义:由变量作为积分限,另有一参数作为被积变量,目标函数值是由变限量决定参数变量积分的面积 不定积分的几何意义:满足牛顿莱布尼兹公.

解:若被积函数函数是非负的,则定积分的意义是:定积分从a积到b的积分:是函数图象与x轴、直线x=a x=b 围成的图形的面积.

几何意义是函数在给定区间下的图形的面积以被积函数为x的平方为例,如图所示给定区间为0到1,则定积分表达的几何意义就是函数在0到1下的面积,即图中阴影部分.

定积分的几何意义就是曲线围成的面积,椭圆的面积S=πab,所以阴影部分面积就是S/4,类比推理即可得到椭圆面积,当然开根号后用定积分求面积也是可行的

(1)若f(x)≥0,x∈[a,b],∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积; (2)若f(x)≤0,x∈[a,b],∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积的相反数; (3)若f(x)在区间[a,b]上有正有负时,∫(a→b)f(x)dx的几何意义为曲线y=f(x)在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号,曲线y=f(x)在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号,构成的代数和.

当f(x)小于等于零时 定积分表示所围图形面积的负值. 当f(x)在区间a,b 内有正有负,定积分表示所围各部分图形面积的代数和.(位于X轴上方的面积为正,位于X轴下方的面积为负)

g.e. = ∫[0,1]√[1-(x-1)²]dx - ∫[0,1]xdx = ∫[-1,0]√(1-t²)dt - 1/2 (第一个积分作变换 t=x-1) = …… (∫√(1-t²)dt 有现成的可查)

是这样的,曲边梯形面积必然是由两条边构成的,一般全部在x轴上面或者下面就是由曲线和x轴构成,但是如果象圆这样的,那么就是由圆的上半曲线和下半曲线构成,这个时候就是上半曲线减下半曲线微元的高.一半是(y-0)dx,这里是(y-(-y))dx=2ydx

这个定积分的几何意义就是圆x^2+y^2=4由第一象限和x及y轴围城的面积之和 等于圆的面积的四分之一 故定积分值为1/4*π*2^2=π.

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