中值定理证明题200题 中值定理证明题集

先把那个式子写成f'(x)-1-λ[f(x)-x]=0,可以看出f'(x)-1=[f(x)-x]',令y=f(x)-x,式子变成y'-λy=0,可以当微分方程解一下,这是齐次方程很好解,解出来是y=Ce^(-λx),或写成ye^(λx)=C,就可以构造F(x)=ye^(λx)=[f(x)-x]e^(λx).因为从上面步骤知道可以由F'(x)=0推出f'(x)-1-λ[f(x)-x]=0,就可以用罗尔定理得出结论.这类题大都可以用这种解微分方程的方法构造辅助函数.

错误其实很简单,就是你在第二行变量替换的时候, 你得保证G(x)是单值函数.所以你直接写那么个区间是有问题的.或者说 你默认了G(x)是单值函数比如∫(-1→1)x^2 *f(x).

令F(x)=ln(f(x)) 则F'(x)=f'(x)/f(x) F(0)=ln(f(0))=lne=1 F(1)=ln(f(1))=ln1=0令G(x)=x^2 则G'(x)=2x G(0)=0 G(1)=1由柯西中值定理可得,在(0,1)内存在ξ使得F'(ξ)/G'(ξ)=(F(1)-F(0))/(G(1)-G(0))=-1所以F'(ξ)+G'(ξ)=0即f'(ξ)/f(ξ)+2ξ=0即2ξf(ξ)+f'(ξ)=0

设f(x)=ax^2+bx+c-e^xf'(x)=2ax+b-e^x2ax+b是直线所以2ax+b最多与e^x有2个交点所以2ax+b-e^x最多有2个0点即f'(x)最多有2个0点即f(x)最多拐弯2次所以f(x)最多有3个0点所以e^x=ax^2+bx+c的实根不会超过三个

因为书写问题,默认以下出现的定积分上限都是x,下限都是0f'(x)=d(x∫f(t)dt - ∫2tf(t)dt)/dx=∫f(t)dt+xf(x)-2xf(x)=∫f(t)dt-xf(x)f''(x)=f(x)-(f(x)+f'(x)x)=-f'(x)x注意到f'(x)<=0,则-f'(x)>=0,也.

8、零点定理 9、柯西中值定理,拉格朗日定理 10、夹逼定理,罗尔定理

设g(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b^2+a^2)}(x^2+a^2)g(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导.g(a)=g(b)=0g(x)在[a,b]上满足罗尔定理.g'(t)=f'(t){[f(b)-f(a)]/(b^2+a^2)}(t^2+a^2)2t=0其中t在(a,b)内.化简2t[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(t)

证:令g(x)=f(x)e^(-mx)初等函数性质有g(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导且g(a)=g(b)=0由罗尔定理知存在ξ属于(a,b)使得g'(ξ)=0即[f'(ξ)-mf(ξ)]e^(-mx)=0又e^(-mx)!=0则f'(ξ)-mf(ξ)=0即f'(ξ)/ f(ξ)=m得证.你的题不是很严格

(1)证明: e^x > ex (x>1) 证明:设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x -e=e^c(x -1) ,.

F(X)是原函数f(x)=3ax^2+2bx-(a+b)的积分. LZ是不是看错了. 罗尔定理如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b);(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b), 那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.要证的是f(x)=0 不是F(X)=0 完全符合定理..