球体转动惯量公式推导 圆球的转动惯量推导

圆柱体的转动惯量其实就可以看作是一个圆盘的转动惯量 在距离盘心r处取一宽为dr的圆环,它的质量dm=m/(pi*r^2)* 2pi*rdr 然后代入 j=∫r^2dm 从0到r积分,得到j=1/2mr^2

您好,我来帮您解答 因为被积函数为定义域上的偶函数,所以积分限由-r到r变成0到r,被积函数扩大二倍 最后一行是著名的牛顿莱布尼兹公式,先求出原函数,再将上下限的值带入相减就得到球体的转动惯量.

这个是积分式 dM=ρ(x方+y方)dxdydz x的积分区间为-R~R,y的积分区间为-R~R,z的积分区间为-R~R 设球半径为R,质量为m,转轴为Z轴,沿Z轴任取体积元为薄圆盘,dm=ρdV=ρπr平方dZ (ρ=m/V) 已知圆盘的转动惯量为dmr平方/2 r平方=R平方-Z平方 对其积分就可以得到了

这要先懂得推导圆盘的转动惯量推导圆盘的转动惯量要先知道圆圈的转动惯量圆盘的转动惯量球体转动惯量

∫∫∫(x^2+y^2)μdV =2/3μ∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz =2μ/3∫[0,2π]dθ∫[0,π]dφ∫[0,r]ρ^2*ρ^2. 最少要用一个二重积分:先求每个圆盘的转动惯量,然后再将所有的圆盘的转动惯量进.

dM=ρ(x方+y方)dxdydz x的积分区间为-R~R,y的积分区间为-R~R,z的积分区间为-R~R

设P(x,y,z)为空间内一点,则点P也可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r为原点. r2sinθdrdθdφ 对于球壳转动惯量:设以z坐标为轴的转动惯量J;球壳面积密度ρ;回转.

(2m乘以R的平方除以5)推导过程:网上有视频,专门介绍转动惯量的计算,大学课程

可以借用球壳或者薄圆板的结果求解. 比如借用薄圆板的结果求解 I = ∫ 1/2 r^2 dm = ∫ (-R, R) 1/2 (R^2-x^2) ρ*π(R^2-x^2)dx = 1/2 * m/(4/3*π*R^3)* π*16/15*R^5 = 2/5 m*R^2 如借用球壳的结果求解,计算更简单: I = ∫ 2/3 r^2 dm = ∫ (0, R) 2/3 r^2 *ρ*4π*r^2 dr = 2/3 * m/(4/3*π*R^3)* 4π*1/5*R^5 = 2/5 m*R^2

(由于输入法不好,文中有的5是五次方的意思,还望见谅)首先,圆盘的转动惯量J=1/2mr²,将球微分为很多一层层的圆盘,设个角度θ,dj=1/2(Rcosθ)²dm, dm=ρdv, dv=兀(Rcosθ)²Rdθcosθ(最后一个cosθ要理解),整理得dj=兀/2 ρR5(COSθ)5dθ,从-兀/2到兀/2积分即可(提示,cosθ5dθ=(1-sinθ²)²dsinθ),最后结果J=2/5mR²