如何用中值定理求极限 拉格朗日求极限的例子

1、根据拉格朗日中值定理 arctana-arctanb=1/(1+ξ²)·(a-b) 其中,ξ在a与b之间,∴arctan(π/n)-arctan[π/(n+1)]=1/(1+ξ²)·[π/n-π/(n+1)]=π/[n(n+1)(1+ξ²)] 其中,ξ在π/(n+1.

如此

只要能变成ƒ(b) - ƒ(a)的形式就能用了 例子如下:

lim(x→+∞)x²[lnarctan(x+1)-lnarctanx] [lnarctan(x+1)-lnarctanx]=1/(1+a^2)(x所以原式=lim(x→+∞)x^2/(1+a^2) (x=lim(x→+∞)1/[(a/x)^2+1] 因为(xlim(x→+∞)x/x而lim(x→+∞)x/x=1,lim(x→+∞)1+x/x=1 所以lim(x→+∞)a/x=1 所以lim(x→+∞)1/[(a/x)^2+1]=1/(1+1)=1/2

理论上是要考虑的,但是你想,在计算极限时所给的函数一般都是具体的函数,具体函数的可导和连续很容易看出来的

其实这两道题你犯了同一个错误,利用积分中值定理的确只要函数连续就可以有其某一个函数值代入,提到积分符号外面,然后乘以积分长度来计算积分值,但是你这两道题忽略了前面的函数值的可变性,比如第一题如果当ε=1时,函数值就为1/2,当ε<1就为0了,如果这道题是在开区间你的做法就对了,但是闭区间还是应该注意一点的,同样第二题ε在取1/n时整个值就不是0了.总的来说利用积分中值定理你就要保证在整个区间中被提出的函数的极限都为0才可以

拉格朗日中值定理有一个变形,即所谓的有限增量公式:f(x0+δx)-f(x0)=f'(x0+θδx)δx,0

这题不能直接使用二重积分中值定理,因为被积函数中存在两个变量t和u相减,只知道他们是无穷小,却不知道无穷小的阶,导致与分母的比值为0/0而求不出极限.所以可以先对内层积分使用积分中值定理的推广形式:++++++++++++++++++++++++++++++ 这题中值定理的做法还复杂些

1 等价无穷小的转化, (只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的x次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于ax .

x->0,这是 0/0 型极限,可用洛必达法则求解 lim (sin(sinx)-sinx)/x³ 上下同时求导 =lim (cosxcos(sinx)-cosx)/3x² 再求 =lim (-sinxcos(sinx)-cosxcosxsin(sinx)+sinx)/6x =lim (-sinxcos(sinx)-cos²xsin(sinx)+sinx)/6x 我晕,怎么这么烦~,再导 =lim (-cosxcos(sinx)+(*)-cos²xcosxcos(sinx)+cosx)/6 (*)中含有sinx项,x=0时,这项为0,可忽略~ =(-1+0-1+1)/6 =-1/6 精神崩溃了~