高斯公式补面正负号 数学高斯公式正负问题

高斯公式只能应用于闭合曲面,非闭合的曲面也要补成闭合曲面.这样正负方向就很好分了,从里向外和从外向里,一个正另一个就是负.举几个栗子:1.一个充气气球,.

补的面取上侧,和题要求的取下侧相反,所以取负号

不封闭就补面 补线 补封闭挖洞一般主要是包含原点的面 要把原点挖掉,设其的半径非常小=ε 挖洞 补面 补线都不是很难关键是你要判断好方向 方向不对 解答题起码扣掉一半的分挖洞给你个例题吧,例如:σ:x2+y2+z2≤1,原点包含了,则设σ2:x2+y2+z2≤ε ,σ1:x2+y2+z2≤1就可以对原式用高斯公式了,记得最后加上σ2:x2+y2+z2≤ε的曲面积分.随便想的 可能有点出入,但是就是这个道理.

【答】首先,补的面与原积分曲面构成封闭曲面.确定补面方向的依据是,使得整个封闭曲面的方向统一地指向外侧或内侧.具体是外侧还是内侧,要按照原题中积分曲面给定的侧来定.

这里是使用了高斯公式,高斯公式的使用条件的∑是Ω边界曲面的外侧,而题目中是下半球面的上侧也就是下半球面的内侧,所以要取负号

首先,补的面与原积分曲面构成封闭曲面.确定补面方向的依据是,使得整个封闭曲面的方向统一地指向外侧或内侧.具体是外侧还是内侧,要按照原题中积分曲面给定的.

只分内外 不分上下 外为正 内为负 这里是下半球面 所以下侧为正

看以下两点来理解18题的问题.①,用高斯公式求曲面积分,是用于【封闭曲面】围成空间区域的情况下.如果是封闭曲面的外侧,就在三重积分前加+号;如果是封闭曲面的内侧,就在三重积分前加-号.②,对于曲面∑不是封闭曲面的曲面积分,人为地添加适当的曲面∑0,使得∑0与∑共同构成封闭曲面,这时就可以考虑用高斯公式了.需要注意两件事.第一,添加的曲面需要自行给出其侧,原则是要与∑的侧一致地成为封闭曲面的外侧或内侧.第二,原积分式=∫∫∑…=【∫∫∑…+∫∫∑0…】-∫∫∑0…★ 上式★中,对【……】,用高斯公式,符号的问题遵①.式★中的∫∫∑0…,用曲面积分的计算公式直接算即可.上述二者算出的值相减即得答案.

一般来说,不一定补的面的积分都是0.应该是算出来的一个积分值.但是由于补面时都考虑使计算简单,所以积分值为0常出现.本题在z=0上的积分算法:∵z=0,∴dz=0,∴∫∫∑1…=0.

补上z=0的下侧,利用高斯公式.I=∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dv+8π=64π/5+8π=104π/5