高中数学立体几何题，求几何方法 球的表面积公式是什么
高中立体几何解题思路
学好立体几何的关键有两个方面：
1、图形方面：不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力是非常重要的。
2、语言方面：很多同学能把问题想清楚，但是一落在纸面上，不成话。需要记的一句话：
几何语言最讲究言之有据，言之有理。也就是说没有根据的话不要说， 不符合定理的话不要说。
至于怎样证明立体几何问题可从下面两个角度去研究：
1、把几何中所有的定理分类：按定理的已知条件分类是性质定理，按定理的结论分类是判定定理。
如：平行于同一条直线的两条直线平行，既可以把它看成是两条直线平行的性质定理，也可以把它看
成是两条直线平行的判定定理。
又如如果两个平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。它既是两个平面平行的性质定理
又是两条直线平行的判定定理。这样分类之后，就可以做到需要什么就可以找到什么，比如：我们要证明直线
和平面垂直，可以用下面的定理：
（1）直线和平面垂直的判定定理
（2）两条平行垂直于同一个平面
（3）一条直线和两个平行平面同时垂直
2、明确自己要做什么：
一定要知道自己要做什么！在证明之前就要设计好路线，明确自己的每一步的目的，学会大胆假设，仔细推理。
解高一空间几何问题方法技巧
这个很难说,首先我认为应该具备一定的空间想象能力,对线面的关系有比较好的感觉,这是高一学好立体几何最重要的.如果没有或者欠缺,那就只能多做练习来弥补,还有就是高一证明立体几何的条件一定要记住(如线面平行垂直,线线平行垂直的条件)这对以后高二的空间向量会有帮助
也许你会觉得单纯用逻辑推理的方法证明立体几何会有困难,不过没关系,有了空间向量之后思路就十分清晰了.但是也同样不能忽视逻辑推理的技巧,因为空间向量的计算还是比较费时间的.所以我认为应该两者都掌握好,到时候可以灵活运用.一个虽然费时但思路简单,一个虽然思路比较繁琐但是省时间
高二数学立体几何的题怎样做啊？
一．空间想象能力的提高。 开始学习的时候，首先要多看简单的立体几何题目，不能从难题入手。自己动手画一些立体几何的图形，比如教材上的习题，辅导书上的练习题，不看原图，自己先画。画出来的图形很可能和给出的图不一样，这是好事，再对比一下，那个图更容易解题。 二．逻辑思维能力的培养。 培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。 1.加强对基本概念理解。 数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。 对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个[平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保证两条直线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。 这在立体几何“简单几何体”部分的学习中显得尤为突出，本章节中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，严谨性，辨析相近易混的概念。如：正四面体与正三棱锥、长方体与直平行六面体、轴截面与直截面、球面与球等概念的区别和联系。 2.加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。 对数学的公理，定理的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上。需要避免证明中出现逻辑推理不严密，运用定理、公理、法则时言非有据，或以主观臆断代替严密的科学论证，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。 （1）重视定理本身的证明。我们知道，定理本身的证明思路具有示范性，典型性，它体现了基本的逻辑推理知识和基本的证明思想的培养,以及规范的书写格式的养成。做到不仅会分析定理的条件和结论,而且能掌握定理的内容,证明的思想方法,适用范围和表达形式.特别是进入高中学习以后所涉及到的一些新的证题的思想方法,如新教材上的立体几何例题:“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.”此定理的证明就采用了反证法,那么反证法的证题思想就需要去体会,一般步骤,书写格式,注意要点等.并配以适当的训练,以初步掌握应用反证法证明立体几何题. (2) 提高应用定理分析问题和解决问题的能力.这常常体现在遇到一个几何题以后,不知从何下手.对于习题，我们首先需要知道：要干什么（要求的结论是什么），那些条件能满足要求，这样一步一步往前找条件。当然这要根据具体情况，需要多看习题，我反对题海，但必要的练习是不可以缺少的 希望我的回答能给你一些帮助！
求高中立体几何例题
立体几何基础题题库（二）（有详细答案）
51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。
求：AM与CN所成的角的余弦值；
解析：(1)连接DM,过N作NE‖AM交DM于E，则∠CNE
为AM与CN所成的角。
∵N为AD的中点, NE‖AM省 ∴NE= AM且E为MD的中点。
设正四面体的棱长为1， 则NC= • = 且ME= MD=
在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2= + =
∴cos∠CNE= ,
又∵∠CNE ∈(0, )
∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为 .
注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB与CD所成的角。
解析：在BD上取一点G，使得 ，连结EG、FG
在ΔBCD中， ，故EG//CD，并且 ， 所以，EG=5；
类似地，可证FG//AB，且 ，
故FG=3，
在ΔEFG中，利用余弦定理可得
cos∠FGE= ，
故∠FGE=120°。
另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。
53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF‖AC1且OF= AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。
在△FOB中，OB= ，OF= ，BE= ，
由余弦定理得
cos∠OB= =
解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。
解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE‖BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1
中，AE= ，AC1= ，C1E= 由余弦定理，得
cos∠EAC1= = ＜0
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
54. 已知AO是平面 的斜线，A是斜足，OB垂直 ，B为垂足，则
直线AB是斜线在平面 内的射影，设AC是 内的任一条直线，
解析：设AO与AB所成角为 ，AB与AC所成角为 ，AO与AC所成角为 ，则有 。在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB= ， ，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问）
由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，
设异面直线SC与AB所成角为 ，
则 ，
由 得
∴ ， ，
∴ ， 即异面直线SC与AB所成角为 。
55. 已知平行六面体 的底面ABCD是菱形，且 ，证明 。
（略去了该题的2，3问）
解析： 设 在平面ABCD内射影为H，则CH为 在平面ABCD内的射影，
∴ ，
∴ ，
由题意 ， ∴ 。
又 ∵
∴ ， 从而CH为 的平分线，
又四边形ABCD是菱形， ∴
∴ 与BD所成角为 ， 即
56.在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的大小。
解析： 连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC， ∴ EF为AE在平面BFC内的射影，
设AE与CF所成角为 ，
∴ ，
设正四面体的棱长为 ，则 ，
显然 EF⊥BC， ∴ ，
∴ ， ，
∴ ， 即AE∴与CF所成角为 。
57. 三棱柱 ，平面 ⊥平面OAB， ，且 ，求异面直线 与 所成角的大小，（略去了该题的1问）
解析： 在平面 内作 于C ，连 ，
由平面 平面AOB， 知，
AO⊥平面 ， ∴ ， 又 ， ∴ BC⊥平面 ，
∴ 为 在平面 内的射影。
设 与 所成角为 ， 与 所成角为 ，
则 ，
由题意易求得 ，
∴ ，
在矩形 中易求得 与 所成角 的余弦值： ，
∴ ，
即 与 所成角为 。
58. 已知异面直线 与 所成的角为 ，P为空间一定点，则过点P且与 ， 所成的角均是 的直线有且只有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
解析： 过空间一点P作 ‖ ， ‖ ，则由异面直线所成角的定义知： 与 的交角为 ，过P与 ， 成等角的直线与 ， 亦成等角，设 ， 确定平面 ， ， 交角的平分线为 ，则过 且与 垂直的平面（设为 ）内的任一直线 与 ， 成等角（证明从略），由上述结论知： 与 ， 所成角大于或等于 与 ， 所成角 ，这样在 内 的两侧与 ， 成 角的直线各有一条，共两条。在 ， 相交的另一个角 内，同样可以作过 角平分线且与 垂直的平面 ，由上述结论知， 内任一直线与 ， 所成角大于或等于 ，所以 内没有符合要求的直线，因此过P与 ， 成 的直线有且只有2条，故选（B）
59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
解析：D
60. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（ ）
A.异面或平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
解析：D
61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
解析：A
62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ ）
A.48对 B.24对
C.12对 D.6对
解析：B
棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.
63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是（ ）
A.45° B.60°
C.90° D.120°
解析：B
∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°
64.异面直线a、b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b成角的范围是
（ ）
A. B.
C. D.
解A.直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°
65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
解析：B
当M,N分别为中点时。
因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理，连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN＝ ，所以在RT△BMN中，MN＝ 。求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。
66. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝√3，则AD,BC所成的角为（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解B。 注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。
67. 直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°的角，且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成的角是（ ）
A.45° B.60°
C.90° D.135°
解A
在 内的摄影是C，则 于C， 于B，则 平面ABC。
68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是
A.可能垂直，但不可能平行
B.可能平行，但不可能垂直
C.可能垂直，也可能平行
D.既不可能垂直，也不可能平行
解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。
设m//n,由于m在β外，n在β内，
∴m//β
而α过m与β交于l
∴m//l，这与已知矛盾，
∴m不平行n.
设m⊥n，在β内作直线α⊥l,
∵α⊥β,
∴a⊥α,
∴m⊥a.
又由于n和a共面且相交（若a//n 则n⊥l，与已知矛盾）
∴m⊥β,
∴m⊥l与已知矛盾，
∴m和n不能垂直.
综上所述，应选（D）.
69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于
解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。
从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC1的垂线.
解析：过E作EH⊥BC，垂足为H. 过H作HG⊥BC1，垂足为G.连EG.
∵面ABCD⊥面BCC1，而EH⊥BC
∵EH⊥面BEC1，
EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.
∵HG⊥BC1，
∴EG⊥BC1，
∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。
在Rt△BCC1中：sin∠C1BC=
在Rt△BHG中：sin∠C1BC=
∴HG= （设底面边长为1）.
而EH=1，
在Rt△EHG中：tg∠EGH=
∴∠EGH=arctg
故二面角E-BC1-C 等于arctg .
70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD= .则三棱锥D-ABC的体积为
解析：设AC、BD交于O点，则BO⊥AC
且DO⊥AC，在折起后，这个垂直关系不变，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角.
由于△DOB中三边长已知，所以可求出∠BOD：
这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是△DOB中，OB边上的高DE，理由是：
∵DE⊥OB
∴DE⊥面ABC.
由cos∠DOB= ，知sin∠DOE=
∴DE=
∴
应选（B）
71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的 . B和C间的球面距离等于大圆周长的 .如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于
解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.
如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径.
下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得（O是球心）.由于A、B间球面距离是大圆周长的 ，所以∠AOB= ×2π= ，同理∠AOC= ，∠BOC= .
∴|AB|=R， |AC|=R， |BC|= .
在△ABC中，由于AB2+AC2=BC2.
∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径.
∴|ED|=
从而|OD|= .
故应选B.
72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，该图中，互相垂直的面有
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
答案（D）
解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏
73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______
解析：90°连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，AB⊥CN，AB⊥DN.
74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD.(12分)
解析：
75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。
如图：（1）证明：PQ‖平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长。（12分）
评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。
76. 如图，已知 求证a‖l
解析：
77．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。（12分）
解析：
78. 在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。
求证：A1O⊥平面GBD（14分）
解析：
79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（n>m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。
（1）求证：AB⊥MN；
（2）求证：MN的长是定值（14分）
解析：
80. 已知：平面 与平面 相交于直线a，直线b与 、 都平行，求证：b‖a．
证明：在a上取点P，b和P确定平面 设 与 交于 ， 与 交于
∵ b‖ 且b‖
∴ b‖ 且b‖
∴ 与 重合，而 ， ，实际上是 、 、a三线重合，
∴ a‖b．
81. 有三个几何事实(a，b表示直线， 表示平面)，① a‖b，② a‖ ，③ b‖ ．其中，a，b在面 外．
用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．
解析：Ⅰ： a‖b
a‖ b‖
b在 外
Ⅱ：a‖b
b‖ a‖
a在 外
Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．
证明：过a作平面 与 交于
∵ a‖
∵ a‖
而a‖b
∴ b‖ 且b在 外， 在 内
∴ b‖ ．
Ⅲ：a‖
a‖b
b‖
命题：平行于同一个平面的两条直线平行，
这是错的，如右图
82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行．
已知：、是两个平面，直线l⊥，l⊥，垂足分别为A、B．
求证：‖思路1：根据判定定理证．
证法1：过l作平面，
∩＝AC，∩＝BD，
过l作平面，
∩＝AE，∩＝BF，
l⊥ l⊥AC
l⊥ l⊥BD AC‖BD AC‖，
l、AC、BD共面
同理AE‖，AC∩AE≠，AC，AE ，故‖．
思路2：根据面面平行的定义，用反证法．
证法2：设、有公共点P
则l与P确定平面，
且∩＝AP，∩＝BP．
l⊥ l⊥AP
l⊥ l⊥BP
l、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的．
故、不能有公共点，∴ ‖．
83. 已知：a、b是异面直线，a 平面，b 平面，a‖，b‖．
求证：‖．
证法1：在a上任取点P，
显然P∈b．
于是b和点P确定平面．
且与有公共点P
∴ ∩＝b′
且b′和a交于P，
∵ b‖，
∴ b‖b′
∴ b′‖
而a‖
这样内相交直线a和b′都平行于
∴ ‖．
证法2：设AB是a、b的公垂线段，
过AB和b作平面，
∩ ＝b′，
过AB和a作平面，
∩＝a′．
a‖ a‖a′
b‖ b‖b′
∴AB⊥a AB⊥a′，AB⊥b AB⊥b′
于是AB⊥且AB⊥，∴ ‖．
84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a‖c，b‖c a‖b；
②a‖r，b‖r a‖b；
③α‖c，β‖c α‖β；
④α‖r，β‖r α‖β；
⑤a‖c，α‖c a‖α；
⑥a‖r，α‖r a‖α．
其中正确的命题是 ( )
(A) ①④ (B) ①④⑤
(C) ①②③ (D) ①⑤⑥
解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．
85. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
(A) 垂直
(B) 平行
(C) 相交但不垂直
(D) 要依P点的位置而定
解析：由题设知B1M‖AN且B1M=AN，
四边形ANB1M是平行四边形，
故B1N‖AM，B1N‖AMC1平面．
又C1M‖CN，得CN‖平面AMC1，则平面B1NC‖AMC1，NP 平面B1NC，
∴ NP‖平面AMC1．
答案选B．
86. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a．
(1) 求证：平面A1BD‖平面B1D1C；
(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离．
证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵ BB1平行且等于DD1，
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形，
∴ BD‖B1D1，
∴ BD‖平面B1D1C．
同理 A1B‖平面B1D1C，
又A1B∩BD=B，
∴ 平面A1BD‖平面B1D1C
解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N．
AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，
∴ AC1⊥BD，
同理可证，AC1⊥A1B，
∴ AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD，
同理可证MN⊥平面B1D1C．
∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，
设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．
∵ M∈平面A1BD，M∈AC1 平面A1C，
∴ M∈A1E．
同理N∈CF．
在矩形AA1C1C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得
，
∴ ．
评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．
87. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点．
(1) 求证AB1‖平面C1BD；
(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离．
证明：(1) 设B1C∩BC1=O．
连DO，则O是B1C的中点．
在△ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点．
∴ DO‖AB1，
又DO 平面C1BD，AB1 平面C1BD，
∴ AB1‖平面C1BD．
解：(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点，
∴ BD⊥AC，且BD⊥CC1，
∴ BD⊥平面AC1，
平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交线．
在平面AC1内作AH⊥C1D，垂足是H，
∴ AH⊥平面C1BD，
又AB1‖平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离．
由BC=8，B1C=10，得CC1=6，
在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，
在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC
∴ ．
即AB1到平面C1BD的距离是 ．
评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1‖平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．
88. 已知：直线a‖平面 ．求证：经过a和平面 平行的平面有且仅有一个．
证：过a作平面与 交于 ，在 内作直线 与 相交，在a上任取一点P，在 和P确定的平面内，过P作b‖ ．b在 外， 在 内，
∴ b‖
而a‖
∴ a，b确定的平面 过a且平行于 ．
∵ 过a，b的平面只有一个，
∴ 过a平行于平面 的平面也只有一个
89. 已知平面 、 、 、 ．其中 ∩ =l， ∩ =a， ∩ = ，a‖ ， ∩ =b， ∩ = ，b‖
上述条件能否保证有 ‖ ？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有 ‖ ．
不足以保证 ‖ ．
如右图．
如果添加条件a与b是相交直线，那么 ‖ ．
证明如下：
a‖ a‖
b‖ b‖
∵ a，b是 内两条相交直线，
∴ ‖ ．
90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.
求证：a、b、c相交于同一点，或a‖b‖c.
证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b
∴a、b β
∴a、b相交或a‖b.
(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b
而a、b β，a α
∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点
又∵α∩γ＝c
由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.
(2)当a‖b时
∵α∩γ＝c且a α，a γ
∴a‖c且a‖b
∴a‖b‖c
故a、b、c两两平行.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.
91. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF‖平面BB1C1C.
证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.
∵AD‖BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD＝B1A，B1E＝BF
∴DF＝AE
∴
∴EF‖B1M，B1M 平面BB1C1C
∴EF‖平面BB1C1C.
证法二：作FH‖AD交AB于H，连结HE
∵AD‖BC
∴FH‖BC，BC BB1C1C
∴FH‖平面BB1C1C
由FH‖AD可得
又BF＝B1E，BD＝AB1
∴
∴EH‖B1B，B1B 平面BB1C1C
∴EH‖平面BB1C1C，
EH∩FH＝H
∴平面FHE‖平面BB1C1C
EF 平面FHE
∴EF‖平面BB1C1C
说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.
92. 已知：平面α‖平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.
解析：如图，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α‖β，
故MC‖ND，同理MF‖NE，得
∠FMC＝∠END，
∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)
S△END∶S△FMC＝
得S△END＝ ×S△FMC
＝ •(m+p)(n+p)= (m+p)2
∴△END的面积为 (m+p)2平方单位.
93. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.
求证:MN‖平面AA1B1B.
解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN‖B1P.
分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN‖平面ABB1A1.
94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．
解：
（1）连结BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．
∵AC∩GC＝C，
∴EF⊥平面GMC．
（2）可证BD‖平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG
95. 已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．
求证：BE不可能垂直于平面SCD．
解析：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，
∵ AB‖CD；∴AB⊥BE．
∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．
∴ BE不可能垂直于平面SCD．
96. 已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为60°，45°，30°，PO⊥平面α，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求PO的长．
解析：
97. 已知：如图，AS⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，
求证：AO⊥BC．
解析：连结AO，证明BC⊥平面ASO．
98. 已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，M、N分别是SC、AB的中点．
求证：MN⊥AB．
解析：连结MB、MA，证明MB＝MA．
99. 已知：如图，平面∩平面＝直线l，A∈ ，AB⊥，B∈，BC⊥，C∈，求证：AC⊥l．
证明：∵ AB⊥，l
∴ l⊥AB
∵ BC⊥，l
∴ l⊥BC
∵ AB∩BC＝B
∴ l⊥平面ABC
∵ AC 平面ABC
∴ l⊥AC
100. 已知：如图，P是∠BAC所在平面外一点，PD⊥AB，D为垂足，PE⊥AC，E为垂足，在平面BAC内过D作DF⊥AB，过E作EF⊥AC，使得EF∩DF＝F．连结PF，求证：PF⊥平面BAC．
证明：∵PD⊥AB，DF⊥AB，PD DF＝D
∴AB⊥平面PDF
∵PF 平面PDF
∴ AB⊥PF
同理，AC⊥PF
∵ PF⊥AB，PF⊥AC，BA AC＝A
∴ PF⊥平面BAC