二重积分第五题是怎么用对称性的？二重积分对称性例题

怎样用对称性与奇偶性计算二重积分

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2

奇偶性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否具有奇偶性，积分区间是否对称，如果奇函数则积分为0为偶函数则用对称性

二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x的奇偶.

三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面的对称性，即 xoy xoz yoz

注意 cosθ = cos(-θ)，极坐标系中θ表示以来x轴为起始位置沿逆时针转动的角度，而-θ表示顺时针转动的角度。所以：

由 r = a（1+cosθ）= a（1+cos(-θ)）可知，该区域关于x轴对称。

而被积函数f(y)=x为关于变量y的偶函数，根据

偶函数在对称区间源的积分等于一半区间上积分的2倍

可知：原积分等于区域D在x轴上zhidao半部分（0≤θ≤π）积分的2倍，也就是你图片中第三行的式子。

极坐标相比直角坐标其实已经简化很多了，出现x/y，x^2 +y^2 使用就挺方便；

对极坐标来说：

r 是到极点的距离，一般不会在对称区间上积分；

θ, 如果r 在对称的θ范围内表达式不变，例如一个圆环，这时可以直接在0 → π/2 积分，再*4倍

而且，θ的积分往往可以直接求出来的（r 如果不是θ的函数的话）