用拉普拉斯变换求下列微分方程 Tx'(t)+x(t)=t·1(t) (设0⁻初始值为零)？

• 用拉普拉斯变换怎样求微分方程?
• 自控原理 拉氏变化法求微分方程，设初始条件为零。 Tx'(t)+x(t)=r(t),r(t)分
• 拉普拉斯变换求解: dx/dt=k0-kx X(t) | t=0 =0
• 用拉普拉斯变换解下列微分方程y''(t)+9y(t)满足初始条件y(0)=0,y'(0)=3的解

用拉普拉斯变换怎样求微分方程?

原发布者:a200710412114

    (1)  例2求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换.  解 L[at]=∫0+∞ate-ptdt=-a/p∫0+∞td(e-pt)     =-[at/pe-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-ptdt      根据罗必达法则,有     limt0+∞(-at/pe-pt)=-limt0+∞at/pept=-limt0+∞a/p2ept      上述极限当p＞0时收敛于0,所以有limt0+∞(-at/pe-pt)=0     因此L[at]=a/p∫0+∞e-ptdt  =-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0)　　　

  (2)   例3求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的

自控原理 拉氏变化法求微分方程，设初始条件为零。 Tx'(t)+x(t)=r(t),r(t)分

% 系统传递函数

G=tf([3 2],[1 5 6])

% (1) bode图

figure(1)

bode(G)

% (2) 零极点分布图

figure(2)

pzmap(G)

% (3) 单位阶跃响应和单位脉冲响应

figure(3)

subplot 211

step(G)

subplot 212

impulse(G)

% (4a) 拉氏逆变换法求f(t)=exp(-2*t)*u(t)的输出

figure(4)

F=laplace(sym('exp(-2*t)'))

Y=sym('(3*s+2)/(s^2+5*s+6)')*F

y=ilaplace(Y)

ezplot(y,[0 6])

axis auto

% 如果Y的拉式逆变换求不出，可用impulse求数值解

% [n,d]=numden(Y);

% impulse(tf(sym2poly(n),sym2poly(d)))

% (4b) 使用lsim函数求线性系统在任意输入下的响应

figure(5)

t=0:0.1:6;

f=exp(-2*t);

lsim(G,f,t)

拉普拉斯变换求解: dx/dt=k0-kx X(t) | t=0 =0

dx/dt = k0 - kx 对方程做L式变换

sX(s) = k0/s - kX(s)

(s-k)X(s) = k0/s

X(s) = k0/s(s-k) = (k0/k)[1/(s-k) - 1/s]

查Laplace反变换表解出：

x(t) = (k0/k)[e^kt - 1]

且满足初始条件：x0 ＝0

用拉普拉斯变换解下列微分方程y''(t)+9y(t)满足初始条件y(0)=0,y'(0)=3的解

对左右两侧分别拉普拉斯变换，0就是0 s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+2sY(s)-2y(0)+Y(s)=0 先设y'(0)=a (s^2+2s+1)Y(s)=a Y(s)=a/(s+1)^2 我们知道L{t^n}=n!/s^(n+1)，并且我们知道L{e^(at)f(t)}=F(t-a) 于是，就有y=a*e^(-t)*t 根据y(1)=2，得a=2e y=2t*e...