线性无关的充要条件 线性相关与无关的判断方法

充要条件.证明:(充分性)若n阶方阵a的行列式等于零,则a的行(列)向量组的秩小于n,则a的行(列)向量组线性相关.(必要性)若a的行(列)向量组线性相关.

表述法有若干.我只说2种:m个n维列向量线性无关的充要条件是:这m个n维列向量中,不存在一个向量,其可由其余向量线性表示.m个n维列向量线性无关的充要条件是:不存在一组不全为零的对应系数,使这m个n维列向量乘对应系数并加和之后,为n维零向量.

α1,α2,···,αs(s>2)线性无关,则其任意两个向量线性无关 (即整体无关,则部分无关) 但反之不成立 如 α1=(1,0),α2=(0,1),α3=(1,1),任意两个向量线性无关 但 α1,α2,α3 线性相关. 逆否命题为:部分相关,则整体相关.

根据秩的定义,r是A的行或者列向量组的极大无关组的向量的个数.r=n时候 极大无关组向量个数为n,所以A的向量组都是线性无关的 所以满秩是向量组线性无关的充要条件

n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们构成的行列式等于0 |α1;α2;α3;α4| = 按行向量构造行列式 2 2 4 a-1 0 2 b 3 2 2 c 1 6 7 d= 30(-a+b+c).所以向量组线性相关的充分必要条件是 a=b+c.

此话欠妥,因改为“仅存在全部为0的k1,k2,k3.kn”.解释:任意的线性相关的向量组a1,a2...an与数组k1,k2,k3.kn满足k1a1+k2a2+k3a3+.knan=0,数组k1,k2,k3,kn仍可以全部都是0.只有前述的情况是唯一的时候,才有向量组线性无关.

a1,a2,.an线性相关的充要条件是 |a|=0 a1,a2,.an线性相关 则它不为满秩;不是满秩则|a| = 0 不为满秩即|a| = 0,则a1,a2,.an线性相关.

系数行列式不等于0所以A可逆那么Ax=0只有0解也就是k1a1+…knan=0只有当k1=…kn=0才成立,所以无关

(C) 正确. (A) 是必要非充分 (B) 必要非充分 (D) 充分非必要

其实这就是向量组的秩的定义.向量组的秩r规定为向量组中极大无关组(也有称为最大无关组的)中向量的个数.而向量组的极大无关组是指着组向量中,能找到r个向量线性无关,而任意r+1个向量必然线性相关.那么这线性无关的r个向量就被称为极大无关组,r也就被称为这个向量组的秩.所以如果r=n(向量组向量的个数),这说明这个向量组的极大无关组数量是n,也就是整个向量组向量的个数.当然就是这全部n个向量都线性无关啦.其实这就类似于说一个三角形是等边三角形的充要条件是三角形的三条边相等一样.纯属定义规定的.