如何证明等边三角形同一边上中线，角平分线，高线，垂直平分线重合?(怎样证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点)
- 怎样证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点
- 怎么证明等腰三角形顶角上的角平分线和底边的中线与高重合，求过程，谢谢！（有采纳哦～）
- 如何证明三角形角三条平分线、高、中线、垂直平分线各自三条都交于一点？答好的大哥加分
- 怎样证明等腰三角形的定角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
怎样证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点
证明：
∵XX，′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线，
∴XX′，YY′必相交于一点，设为O（否则，XX′∥YY′，那么∠C必等于180°，这是不可能的）。
∵OB=OC，OC=OA，
∴OB=OA，
∴O点必在AB的垂直平分线ZZ′上，
∴XX′，YY′，ZZ′相交于一点。
扩展资料：
垂直平分线的性质
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点;（2）直线⊥线段。
特殊三角形的垂直平分线
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。三线所在的直线即为垂直平分线。
等边三角形的垂直平分线
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。三条对称轴即可垂直平分线。
参考资料来源：百度百科——垂直平分线
怎么证明等腰三角形顶角上的角平分线和底边的中线与高重合，求过程，谢谢！（有采纳哦～）
如图所示，△ABC是等腰三角形（AB=AC）
AD为BC边上的中线
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
AB=AC
AD=AD
BD=CD
∴△ABD≌△ACD
∴∠BAD=∠CAD
∴AD是∠BAC的角平分线
∴等腰三角形的中线和顶角平分线重合
2.
如图所示，假设△ABC不是等腰三角形且AD既是它的中线又是它的角平分线
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中
AB=AC
AD=AD
BD=CD
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC（与题意不符）
∴一个底边上的中线和顶角平分线重合的三角形是等腰三角形
如何证明三角形角三条平分线、高、中线、垂直平分线各自三条都交于一点？答好的大哥加分
(1)三条平分线:
先画一个三角形ABC，再画出任意两个角（设为∠A，∠B）的平分线相交于O点，
自O点作三边的垂线交三边于D,M,N,则OD=OM=ON,连接OC,则OC平分∠C,所以三角形三条角平分线交于一点。
(2)垂直平分线
先作两边的垂直平分线交予一点，连接此点到三个角的顶点，由线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等再过这点向第三边作垂线，根据:到一条线段两端相等的点一定在其垂直平分线上，可知刚做的垂线是第三边的垂直平分线所以三角形的三边垂直平分线一定交于一点
(3)高
先做两条高（角平分线和中线）的交点，连交点和另一顶点.延长交于这个顶点的对边.
角平分线利用的角平分线上的点到角的两边的距离相等.这样三段距离都相等就可以证明第三条是角平分线
没学向量以前中线可以利用面积去算,利用底相等,高相同.然后就可以证明到分开的六块面积都相等。
高的话好象只能用向量积来证明了(高一才学)
(4)中线
设△ABC的两条中线BD、CE交于点G,连结AG并延长交BC于M(我们只要能证明点M是BC的中点即可),作BN‖CE交AM延长线于N,连结CN. 因为E是AB中点,BN‖CE,所以点G是AN中点(平行线等分线段定理),又因为点D是AC的中点,所以GD‖CN(三角形中位线定理),因此四边形BNCG是平行四边形,所以BC、GN互相平分,即点M是BC的中点,AM是BC边上的中线. 由于中线具有唯一性,这就证明了△ABC的三条中线AM、BD、CE交于所设点G.
怎样证明等腰三角形的定角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
证明：∵△ABC是等腰三角形 在△ABC的顶点做它的角平分线，AD交BC于点D
∵AD是△ABC中的角平分线
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
AD=AD（公共边）
∠BAD=∠CAD
AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
∵BD=CD
∴AD是BC边上的中线
∴点B,D,C在同一直线上
∴∠BDC=180°（三点共线）
∴∠BDA=180°÷2=90°（平角的定义）
∴AD是BC边上的高
∴等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合