设x1=a>0，xn+1=根号下（b+xn），n=1,2,……，证明{xn}收敛于方程x^2-x-b=0的正根？(1.设X1>a>0，且Xn+
- 1.设X1>a>0，且Xn+1=根号aXn（n=1,2，……），证明limn→∞Xn存在，并求此极限值
- 设x1=a>0,xn+1=1/2(xn+2/xn),n=1,2,3……,利用单调有界准则证明数列{xn}收敛
- 设0<X1<2,Xn+1=根号项2+Xn(n=1,2...),证明数列Xn有极限，并求出该极限
- 设x1>0,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）（n=1,2,3....n），证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值
1.设X1>a>0，且Xn+1=根号aXn（n=1,2，……），证明limn→∞Xn存在，并求此极限值
1.
x(n+1)=√(axn)
先证xn有下界：
猜想xn>a
利用数学归纳法：
x1>a
假设，当n=k，xk>a
则，当n=k+1，x(k+1)=√(axk)>a
故，数归成立，xn>a
再证xn单调递减：
x(n+1)-xn
=√(axn)-xn
<0
故xn单调递减
因为xn单调递减且有下界，故xn收敛，设收敛到x
x(n+1)=√(axn)
同取极限，
lim x(n+1)=lim √(axn)
x=√(ax)
x=a
即，lim xn=a
2.
x→0
lim (2/3)(cosx-cos2x) / x^2
利用和差化积：
cosx-cosy=2sin((x+y)/2)*sin((y-x)/2)
=lim (2/3)(2*sin(3x/2)*sin(x/2)) / x^2
=lim sin(3x/2)/(3x/2) * lim sin(x/2)/(x/2)
根据重要的极限：lim(x→0) sinx/x=1
=1*1
=1
因此，2/3（cosx-cos2x）~x²
有不懂欢迎追问
设x1=a>0,xn+1=1/2(xn+2/xn),n=1,2,3……,利用单调有界准则证明数列{xn}收敛
有界：Xn+1=1/2(xn+2/xn)>=1/2*2*根号（Xn*2/Xn）=根号2 n=1,2,3.....
单调：Xn+1-Xn= -1/2（Xn-2/Xn） 当n>=2时，Xn>=根号2，所以Xn+1-Xn<=0
所以收敛
设0<X1<2,Xn+1=根号项2+Xn(n=1,2...),证明数列Xn有极限，并求出该极限
先证明xn有界
猜想:0＜xn＜2
证明(数学归纳法)
当n＝1,0＜x1＜2满足
假设:当n＝k(k≥1)，也有0＜xk＜2成立
那么当n＝k+1(k≥1)，所以0＜Xk+1＝√2+XK＜√（2+2）＝2，所以当n＝k+1，结论也成立
所以0＜xn＜2
再证明单调性:Xn+1-Xn＝√（2+Xn）-Xn＝(2+Xn-Xn^2)/[√（2+Xn）+Xn]＝(2-Xn)(1+Xn)/[√(2+Xn)+Xn]＞0，所以Xn+1＞Xn
说明单调递增
又因为有界，所以数列Xn极限一定存在
设极限为a(a＞0)，所以a＝lim(n→∞)Xn+1＝lim(n→∞)√(2+Xn)＝√(2+a)，所以a^2＝a+2，所以a＝2(a=-1舍去)
极限为2
设x1>0,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）（n=1,2,3....n），证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值
x（n+1）=1/2*(xn+1/xn)>=1/2*2=1 xn=1时取等号
即xn是大于等于1的数
2（X（n+1）-Xn）=2X（n+1）-2Xn=Xn+1/Xn-2Xn
=(1-Xn^2)/Xn <=(1-1)/Xn=0
即 Xn是单调递减数列 又是有界数列 则极限存在 且极限就是1