高数函数相关的7道习题，求指点！！(高数课本上关于和函数的一个例题求解)

高数课本上关于和函数的一个例题求解

不能用积分做，乘以1/x也不行，对于求和函数的题，如果含n的项做分母，就用先求导后积分。如果含n的项做乘数，就先积分后求导。记住这个规律就好了

设P(x,y)为连接点A(0,1),B(1,0)的一条向下凹的曲线上的任意一个点,已知曲线与弦AP之间的面积为x^3,

求曲线的方程.

解：设所求曲线的方程为y=f(x),过P向 X轴作垂线，垂足为C,则弦AP与曲线间的面积S(X)=梯形OAPC的面积－曲边梯形OAPC的面积

＝（Y+1)X/2-∫(0,X)f(t)dt=x^3

即∫(0,x)f(t)dt=(y+1)x/2-x^3

等式两边对x求导得：

f(x)=(1/2)(y+1+xy')-3x^2

即2y=xy'+y-6x^2+1

即y=xy'-6x^2+1

即dy/dx-y/x=6x-1/x

这是一个n=0的 Bernoulli方程，其中P=-1/X, Q=6X-1/X.

故通解为y=x[c+∫(6X-1/X)(1/X)dx]=x[c+∫(6-1/x^2)dx]

=x[c+6x+1/x]=6x^2+cx+1

当x=1时y=0,代入，得c=-7.

∴y=f(x)=6x^2-7x+1为所求。

※关于柏虏利方程的通解的求解过程，因为书写很困难，即使写出来也看不清楚，故予以省略了。要知详情。请参看有关教科书

没有拉

f'(x)=3x^2-9x+6+m/3, 因为f(x)的极值存在，所以f'(x)=3x^2-9x+6+m/3=0成立。若3x^2-9x+6+m/3=0有实数解。则81-4*3*(6+m/3)>=0-->81-72-4m>=0-->4m<=9-->m<=9/4.

x=(9+sqrt(9-4m))/6 x=(9-sqrt(9-4m))/6

左极限：lim (x→0-) f(x)＝lim (x→0-) [e^(1/x)+1]＝0+1＝1

右极限：lim (x→0+) f(x)＝lim (x→0-) (1+x)＝1+0＝1

左右极限相等，所以，lim (x→0) f(x)＝1