星形线弧长的求解过程 星形线弧长公式推导过程

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3/105. 若星形线上某一点切线为T,则其斜率为tan(p),其中p为极坐标中的参数.相应的切线方程为 T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 . 如果切线T分别交x、y轴.

ydx,代入参数方程,相当于对定积分进行换元,x从0到a对应t从π/2到0.弧微分ds=√(x'²+y'²)dt≥0,t的取值必须是从小到大.

你用格林公式算一下 ∫(L)-ydx=∫∫(D)dxdy书上的公式并不是唯一的, 只要满足Qx-Py=1, 任何P和Q都可以的.

因为星形线有拐点,即在0~2兀区间函数有增有减,如果直接积分的话,增减段的弧长就抵消了,所以,要分段计算出弧长再相加

由对称性,S=4∫→a)ydx =4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3] =12a^2*∫(0→π/2) (sint)^4*(cost)^2 dt =12a^2*∫(0→π/2) [(sint)^4-(sint)^6] dt =12a^2*[3/4*1/2*π/2-5/6*3/4*1/2*π/2].

(1)面积S,S'=ydx=-3a^2*(sint)^4*(cost)^2dt,又又知0<=x<=90度,对S'定积分可得S(2)全长L,其导数L'=4*根号[(x')^2+(y')^2]=[9*a^2*(cost)^4*(sint)^2+9*a^2*(sint)^4*(cost)^2]^(1/2)*dt=12a|sint*cost|dt<br>又知0<=t<=90度,对L'积分得L=6a<br>(3)体积V,V'=pai*y^2*dx=…,又 0<=t<=a,对V'定积分即可

定积分可得s(2)全长l,其导数l'积分得l=6a (3)体积v,s',对s',对v',对l',又 0&lt,v')^2]=[9*a^2*(cost)^4*(sint)^2+9*a^2*(sint)^4*(cost)^2]^(1/=a;=4*根号[(x'=t<=ydx=-3a^2*(sint)^4*(cost)^2dt;=t<2)*dt=12a|sint*cost|dt<br>又知0&lt(1)面积s;)^2+(y',又又知0<=90度;=pai*y^2*dx=…;=90度;=x&lt

这一题不需要挖去奇点. 解:本题运用了格林公式求解. 由图形的对称性可以得知: S=4∫(0→a)ydx =4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3] =12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt =12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4-(sint)^6] dt =12a^2[3/4*1/2*π/2-5/6*3/4*1/2*π/2] =(3πa^2)/8 扩展资料: 利用格林公式计算对坐标的曲线积分的方法: 第一步:明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(dx前面的函数为P(x,y),dy前面的函数为Q(x,y),如果有负号,记得带上负号). 第二步:.

星形线x=acos³t,y=asin³t和圆x=acost,y=asint所围成的面积为6a. 解:本题利用了星形线的性质求解. 本题由于图片是对称图形,只要计算第一象限部分的长度,再乘以4即可. 首先,弧微分ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=√[(x')^2+(y')^2]dt=3a|sintcost|dt,x'、y'表示求导 其次,弧长s=4∫(0,π/2) 3a|sintcost|dt=12a∫(0,π/2) 最后12a∫(0,π/2) sintcostdt =12a∫(0,π/2) 1/2sin2tdt =12a∫(0,π/2) 1/4sin2td(2t) =12a(0,π/2) 1/4[-cos2t] =6a 扩展资料: 星形线的性质: 若星形线上某.

由弧微分公式 ds=√(1+(y')^2) dx=√(1+sinx)dx 故s=∫√(1+sinx)dx 积分区间是(0,π) 1+sinx=(sinx/2)^2+(cosx/2)^2+2sinx/2cosx/2 故积分可化为 ∫sinx/2dx+∫cosx/2dx=2(sinx/2-cosx/2) 带入积分区间可得结果为4

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