例2证明:函数y=x2在实数域(-∞,+∞)内单调递增+证明在(-∞,+∞)

用定义证明函数f(x)=2x-1在区间(-∞,+∞)上是增函数

你设任意X1， X2 且X1<X2 证明f（X1）<f（X2）就好了。这个很简单的。

设x1,x2属于(-无穷大，1)，且x1<x2

f(x1)-f(x2)=(-x1^2+2x1)-(-x2^2+2x2)=x2^2-x1^2+2x1-2x2

=(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)

=(x2-x1)(x2+x1-2)

因为x1<x2

故x2-x1>0

又因为x1,x2<1,故x2+x1-2<0

所以f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)<0

所以

f(x1)<f(x2)

因此，f(x)=-x平方+2x在(-无穷大，1)内是增函数

设x1和x2是(-∞，-b/2a]上的两个任意实数，x1＜x2.

配方可得:f(x1)=ax1^2+bx1+c=a[x1+b/(2a)]^2+c

f(x2)=ax2^2+bx2+c=a[x2+b/(2a)]^2+c

因为c为定值,所以两式中a[x+b/(2a)]^2的值较大的函数值较大,又因为a<0,可得两式中[x+b/(2a)]绝对值较小的函数值较大.

因为x1,x2在(-∞，-b/2a]上,所以[x1+b/(2a)]与[x2+b/(2a)]均小于等于0,所以|x1+b/(2a)|=-[x1+b/(2a)],|x2+b/(2a)|=-[x2+b/(2a)].

因为x1＜x2,所以x1+b/(2a)-[x2+b/(2a)].所以f(x1)＜f(x2)

用定义证明：设递增函数f(x)和g(x),令h(x)=f(x)+g(x).据已知，则有x1>x2时，f(x1)>f(x2),g(x1)>g(x2),所以，对于h(x)有当x1>x2，h(x1)>h(x2)（电脑打当真不好打，此题其实很简单，证明过程还请自己简化通顺一下）