为什么{a,e}不是循环群的子群？

离散数学题,求证循环群的子群仍是循环群?

证明:设群G是一个循环群,则G必定是由一个元素生成的,取其生成元a,则有G=(a).H是G的一个子群(非空、运算封闭、结合律).如果H是单位元群,则H显然是循.

为什么<Q,+>不是循环群

有个结论:Zn的子群为rZn形式,其中r是n的某个因子,且2113rZn为n/r阶循环群.证明罗嗦些.做Z到Zn的自然映射f,将m映入m的模n剩余类,kerf=Z/Zn=nZ,由对应定理5261kerf=nZ,Z的包含nZ的子群4102qZ(q整除n)和nZ的子群H存在一一对应关系.因为q*(表q的模n剩余1653类)属于H,所以q*,2q*,……,都rq=n属于H,故H中恰有n/q个元,且H=<q*>,即H为循环群内 第二问,因为n为素数,容而素数阶群必为循环群.因为H中任何元生成子群H的阶m整除G的阶n,而n为素数,所以m=1或n,即H={e}或G 证毕.

第六题解释一下什么叫24元循环群,以及什么叫子群,四阶又是啥..

单位元也称为幺元,群的任何元素和它运算,保持该元素不变,如整数(实数)对普通加法0是单位元,因为对任意整数x,0+x=x,整数(实数)对普通乘法1是单位元,因.

12阶循环群有几个不同的子群 !!

循环群的子群还是循环群.这是由于设G=<a>,G的阶为n,H是G的一个m阶子群,则m│n,设n=mt,则H=<a^t> 由于12的约数有1,2,3,4,6,12,所以有6个不同的子群,设a为G的一个12阶元,则G的所有子群为 G1={e} G2={e,a^6} G3={e,a^4,a^8} G4={e,a^3,a^6,a^9} G5={e,a^2,a^4,a^6,a^8,a^10} G6=G

离散数学 - 代数结构问题 求6阶循环群{e,a,a2,…,a5}的各阶子群. 越详

首先,子群的阶是6的约数:1,2,3,6 其次,1阶子群H1的生成元是a^6(a的6次方)=e,所以H1={e}.2阶子群H2的生成元是a^3,所以H2={e,a^3}.3阶子群H3的生成元是a^2,所以H3={e,a^2,a^4}.6阶子群H4的生成元是a,所以H4就是原来的群本身{e,a,a^2,a^3,a^4,a5}.

12阶循环群有多少个不同的子群

循环群的子群还是循环群.这是由于设G=,G的阶为n,H是G的一个m阶子群,则m│n,设n=mt,则H= 由于12的约数有1,2,3,4,6,12,所以有6个不同的子群,设a为G的一个12阶元,则G的所有子群为 G1={e} G2={e,a^6} G3={e,a^4,a^8} G4={e,a^3,a^6,a^9} G5={e,a^2,a^4,a^6,a^8,a^10} G6=G

证明,指数是2的子群一定是不变子群.

不妨设该子群为H.H有两个不同的左陪集,由于eH=He=H.因此两个陪集一个为H,另一个为G-H.任取a属于G,1、若a属于H,则aH=Ha=H2、若a属于G-H,则aH=Ha=G-H 因此H为正规子群,也就是不变子群

为什么“素数阶的群必是循环群”?

设群G是素数阶群,阶为p 任取a≠e,a的阶一定是p的因数,显然|a|≠1,所以|a|=p 由a生成的G的子群的阶就是p 所以G=<a>

子群的直积是子群么

如果考虑同构的话,都有可能.比如4阶循环群C4(或Z4),明显<w^2>={e,w^2}是一个二阶循环群,因此同构于C2={1,-1},或说2阶循环群Z2.则直积C2xC2同构于Klein二元群,Klein当然不是C4的子群.或者最明显的反例.取任何一个非一阶群G.G本身就是他的子群.而GxG的阶为|G|^2>|G|,那他还可能是G的子群吗.当然也有是的情况.比如任何子群和单位元的直积同构于子群本身,因此还是G的子群.

证明素数阶群一定是循环群,并且这样的群除{e}以外没有真子群. - 搜

设群(g,*)的阶是素数p,a不是g的单位元,若a的阶是m,则m>1,h={ar | r属于z}是关于*的一个m阶循环子群,又m是p的因数,但素数p只有p 和1,m又不等于1,故m=p,所以(g, *)是一个循环群