重心向量公式及证明 三角形重心向量公式证明

证:过点b作be平行pc,过c作ce平行bp交be于e,连接pe交bc于f 易知在平行四边形becp中,向量pb+向量pc=向量pe=—向量pa(要使命题成立,即有:向量pe+向量pa=0向量,因为向量pe=向量pb+向量pc,辅助线作法) 向量pa,向量pe反俯范碘既鄢焕碉唯冬沥向,而bf=cf,f即为bc中点,af是bc边中线 同理可证bp,cp 则点p是重心

向量证明重心三角形abc中,重心为o,ad是bc边上的中线,用向量法证明ao=2od

记原点为O,三角形三顶点依次为A,B,C,G为重心,D为BC中点 于是OD=1/2(OB+OC)(全是向量,下同) 然后我们知道AG=2GD 所以OG=1/3OA+2/3OD=1/3(OA+OB+OC) 这样就得到了坐标公式

作图,三角形ABC,BC中点为E,AB中点D,AC中点F,作出重心为G 连接GA GB GC 因为重心各边为中线的交点, 所以可以得到,向量GB+向量GC=2向量GE 向量GA+GB+GC=向量GA+2向量GE 向量GE与向量GA的方向相反,且GA的模=2倍的GE的模 (还记得关于重心的推论吧,AG:GE=2:1,这是长度关系,对于任意三角形都是成立的,记住有用处) 向量GA+GB+GC=向量GA+2向量GE=0向量

设三角形ABC,O为三角形重心.D、E、F分别为BC.AB.AC中点则根据共线,有AO=mAD.BO=nBF.因为D为中点,所以AD=(AB+AC)/2.AO=m(AB+AC)/2.又BO=AO-AB=m(AB+AC)/2-AB.BF=AF-AB=AC/2-AB,所以m(AB+AC)/2-AB=nAC/2-nAB,两边同乘2得:m-2=-2n. m=n.解得m=n=2/3.所以得出,重心到顶点与到边的长度之比为2:1

GA+GB+GC =0(OA-OG)+(OB-OG)+(OC-OG) =0OG = (OA+OB+OC)/3=> G为△ABC重心

如图,DEF为三边中点. 向量CA=[(X1-X3),(Y1-Y3)],向量CB=[(X2-X3),(Y2-Y3)]. 那么向量CD=1/2(向量CA+向量CB)=[(X1+X2-2X3)/2,(Y1+Y2-2Y3)/2]. 向量CG=2/3向量CD=[(X1+X2-2X3)/3,(Y1+Y2+2Y3)/3]. 所以G点坐标为C点坐标+向量CG坐标=(X3,Y3)+[(X1+X2-2X3)/3,(Y1+Y2+2Y3)/3]=[(x1+x2+x3)/3,[(y1+y2+y3)/3]. 电脑上看会有点麻烦.

证:过点B作BE平行PC,过C作CE平行BP交BE于E,连接PE交BC于F 易知在平行四边形BECP中,向量PB+向量 向量PA,向量PE反向,而BF=CF,F即为BC中点,AF是BC边中线 同理可证BP,CP 则点P是重心

ABC为三角形顶点,O为重心 向量OA+向量OB+向量OC=0 垂心 向量OA*向量OB=向量OB*向量OC=向量OC*向量OA=0

(1).AB=12b,AC=12c.AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD,AD=6b+6c;BD=6c-6b.OD=xAD=6xb+6xx.(2).E是AC中点.作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c.平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c,x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3,3x=1.(3).OD=2b+2c,AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD.