逆矩阵的初等行求法 初等行变换法求逆矩阵

具体回答如下:设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵.注:E为单位.

^解: (A,E)=1 2 2 1 0 02 1 -2 0 1 02 -2 1 0 0 1 r2-2r1,r3-2r11 2 2 1 0 00 -3 -6 -2 1 00 -6 -3 -2 0 1 r3-r21 2 2 1 0 00 -3 -6 -2 1 00 0 9 2 -2 1 r2*(-1/3), r3*(1/9)1 2 2 1 0 00 1 .

P(A,E)=(B,P)这是分块矩阵的乘法.设A,B,P,E都是n阶方阵.(E是n阶单位矩阵) (A,. 这里是谈用初等变换求A的逆矩阵.取P=A^(-1).则PA=B=E.上面式子成为 A^(-1)(A,E)=(E,A^(.

不行.因为通过行变换,从初等矩阵的角度看,就是(p1p2.pn)a=e,括号里就是a的逆,p在同一边 通过列变换,从初等矩阵的角度看,就是a(q1q2.qn)=e,括号里就是a的逆,q在同一边 通过行列一起变换,从初等矩阵的角度看,就是(p1p2.pn)a(q1q2.qn)=e,p和q在a的两边,不靠近,不能形成一个整体,无法形成a的逆.

这两个都可用分块矩阵的方法求逆矩阵 特别是第2个, 有固定公式: 斜对角线上元素反序倒数0 0 0 1/40 0 1/3 00 1/2 0 01 0 0 0 第1个用公式0 a b c 的逆矩阵为-b^-1ca^-1 b^-1 a^-1 0 或者用初等变换的方法 都可以0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0 00 1 1 1 0 0 1 01 1 1 1 0 0 0 1 r4-r3,r3-r2,r2-r1 然后再交换行化为 (e,a^-1) 得 a^-1= 0 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 0 0 1 0 0 0

用初等行变换求逆矩阵的方法经常用到,就是就是对矩阵(A,E)进行初等行变换,使其变成(E,B),则B就是A的逆矩阵A(–1).求解的原理是这样的:对矩阵A进行一次初等行变换相当于对矩阵A左乘一个初等矩阵Pi,那么对A进行一系列的行变换得到单位矩阵E,相当于左乘了一系列的初等矩阵P1、P2、.、Pi后得到E.把这些可逆的初等矩阵乘在一起,就是P=P1*P2.*Pi,且PA=E,那么P就是A的逆矩阵.所以当(A E)中左边的A经过初等行变换得到E时,右边的单位矩阵E也就经过相应的行变换,相当于左乘矩阵PE=P=A(–1).,本题的求解过程如下图所示:

对如下矩阵(即原矩阵和单位阵连起来)做行初等变化 , 将前两列变成单位阵,. 1 -2 1 0 1 1 0 1 则后两列自动变成原矩阵的逆. 过程如下:第二行减去第一行变成: 1 -2 1 0 0 3 -1 1 再将第二行除以3得: 1 -2 1 0 0 1 -1/3 1/3 最后将第一行加上第二行的两倍得: 1 0 1/3 2/3 0 1 -1/3 1/3 于是原矩阵的逆为: 1/3 2/3 -1/3 1/3 以上方法可以求一般可逆矩阵的逆. 当然二阶矩阵的逆可以通过其伴随矩阵简单的求出.

Eij(k)逆=Eij(-k) 意思是单位矩阵的第i行乘以k加到第j行上这样的矩阵,他的逆矩阵就是第i行的-k倍加到第j行. Eij逆 =Eij 单位矩阵第ij两行互换,它的逆矩阵就是它本身 Ei(k)逆=Ei(1/k) 单位矩阵第i行乘以k,它的逆矩阵就是第i行乘以1/k

(A,E)=1 2 0 1 0 02 1 -1 0 1 03 1 1 0 0 1r2-2r1, r3-3r11 2 0 1 0 00 -3 -1 -2 1 00 -5 1 -3 . 1 1/8 -5/8 3/8r1+6r3, r2-3r31 0 0 -1/4 1/4 1/40 1 0 5/8 -1/8 -1/810 0 1 1/8 -5/8 3/8逆矩阵.

答案:第一行-15 7 -1 第二行-6.5 3 -0.5 第三行-16 7 -1