已知正三棱柱的高等于1，且球o与所有棱相切，球o的体积为多少？三棱柱内切球体积

若一个半径是1的球和一个正三棱柱的所有棱均相切，则此正三棱柱的体积为多少？

半径是1的球和一个正三棱柱的所有棱均相切，

故球心在正三棱柱的中截面的重心

半径是1的球和一个正三棱柱的侧棱相切，

故半径1为正三角形高的2/3，正三角形高=1.5, 正三角形边长=√3，正三角形面积=0.75√3

设正三棱柱的侧棱H

半径是1的球和一个正三棱柱的底边相切

故0.5^2+(H/2)^2=1^2, H=√3,

则此正三棱柱的体积为2.25=9/4

解：如图，设球O与正四面体ABCD的各棱都相切，其中与AB切于E，与CD相切于F，交换A与B，C与D，正四面体的空间位置没有变，E，F仍为切点，由对称性点E为AB中点，F为CD中点

连BF，AF，由正面体性质知，，FE⊥AB

同理EF⊥CD

由于EF过切点且与切线垂直，所以EF必过球心O

即EF为与正四面体的各棱都相切的球的一条直径

由于

所以球半径为，球体积

正三棱锥的高是直径=2

正三棱锥底面正三角形的内切圆的半径是1，

所以正三角形的边长是2√3，高是3

体积=2√3*3*2/2=6√3

这个正三棱柱的高是h=2R=2

正三棱柱的底面三角形的内切圆半径是R=1，则底面正三角形的边长是a=2√3

则：底面积是S=(√3/4)a²=3√3，高是h=2

则：V=Sh=6√3 (cm³)